A solução do oscilador harmónico simples (ddotx+omega0 dotx=0) pode ser escrita da seguinte forma: x(t)=A cos (omega0 t)+B sen(omega0 t) onde A e B podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma: x(t)=C cos (omega0 t+varphi). Ou seja partindo de x(t)=A cos (omega0 t)+B sen(omega0 t) chege à C cos (omega0 t+varphi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata do oscilador harmônico simples, que é um sistema que oscila de forma periódica, tipo uma mola ou um pêndulo. A solução geral desse sistema é dada por:
x(t) = A cos (omega0 t) + B sin(omega0 t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a posição e a velocidade iniciais. O objetivo é reescrever essa expressão de uma maneira diferente, usando uma única função cosseno com um deslocamento de fase:
A
Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e entender como combinar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que nos permite combinar um cosseno e um seno em uma única função cosseno com uma fase:
A cos theta + B sin theta = C cos(theta - varphi)
onde:
  • $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude resultante,
  • $ \varphi = \arctan\left(\frac{B}{A}\right) $ é o deslocamento de fase.
Esse resultado nos ajuda a transformar a soma de cosseno e seno em uma única função com fase.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa expressão original:
x(t) = A cos (omega0 t) + B sin(omega0 t)
Podemos identificar que $ \theta = \omega_{0} t $, então:
theta = omega0 t
Mas a diferença de sinal na fase pode ser ajustada, já que o cosseno é uma função par:
x(t) = C cos(omega0 t - varphi)
onde $ \varphi’ = -\varphi $. Para simplificar, podemos renomear $ \varphi’ $ como $ \varphi $, já que é apenas uma constante.

Passo 4

Agora, vamos expressar $ C $ e $ \varphi $ em termos de $ A $ e $ B $:
  1. Amplitude $ C $:
    Usamos a relação:
    C
    Isso representa a amplitude total do movimento.
  2. Fase $ \varphi $:
    Calculamos o ângulo de fase usando a tangente:
    varphi
    Isso nos dá o deslocamento necessário na fase para combinar os termos de cosseno e seno.

Passo 5

Substituindo $ C $ e $ \varphi $ na expressão final, temos:
C
Isso mostra que a solução original pode ser escrita de forma equivalente usando uma única função cosseno com uma amplitude ajustada e um deslocamento de fase.

Resposta

A solução geral do oscilador harmônico simples pode ser escrita como:
x(t) = C cos (omega0 t + varphi)
onde $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude e $ \varphi = \arctan\left(\frac{B}{A}\right) $ é o deslocamento de fase.

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