A solução do oscilador harmónico simples
pode ser escrita da seguinte forma:
onde
e
podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma:
. Ou seja partindo de
chege à
Mostre que a solução geral pode ser escrita da forma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata do oscilador harmônico simples, que é um sistema que oscila de forma periódica, tipo uma mola ou um pêndulo. A solução geral desse sistema é dada por:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a posição e a velocidade iniciais. O objetivo é reescrever essa expressão de uma maneira diferente, usando uma única função cosseno com um deslocamento de fase:
Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e entender como combinar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que nos permite combinar um cosseno e um seno em uma única função cosseno com uma fase:
onde:
- $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude resultante,
- $ \varphi = \arctan\left(\frac{B}{A}\right) $ é o deslocamento de fase.
Esse resultado nos ajuda a transformar a soma de cosseno e seno em uma única função com fase.
Passo 3
Aplicando essa identidade à nossa expressão original:
Podemos identificar que $ \theta = \omega_{0} t $, então:
Mas a diferença de sinal na fase pode ser ajustada, já que o cosseno é uma função par:
onde $ \varphi’ = -\varphi $. Para simplificar, podemos renomear $ \varphi’ $ como $ \varphi $, já que é apenas uma constante.
Passo 4
Agora, vamos expressar $ C $ e $ \varphi $ em termos de $ A $ e $ B $:
-
Amplitude $ C $:Usamos a relação:Isso representa a amplitude total do movimento.
-
Fase $ \varphi $:Calculamos o ângulo de fase usando a tangente:Isso nos dá o deslocamento necessário na fase para combinar os termos de cosseno e seno.
Passo 5
Substituindo $ C $ e $ \varphi $ na expressão final, temos:
Isso mostra que a solução original pode ser escrita de forma equivalente usando uma única função cosseno com uma amplitude ajustada e um deslocamento de fase.
Resposta
A solução geral do oscilador harmônico simples pode ser escrita como:
onde $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude e $ \varphi = \arctan\left(\frac{B}{A}\right) $ é o deslocamento de fase.