A solução do oscilador harmónico simples (ddotx+omega0 dotx=0) pode ser escrita da seguinte forma: x(t)=A cos (omega0 t)+B sen(omega0 t) onde A e B podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
Determine a expressão de A e B em termos da posição inicial e velocidade inicial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o oscilador harmônico simples, cuja equação diferencial é dada por:
ddotx + omega0^2 x = 0
A solução geral dessa equação é:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Nosso objetivo é encontrar as expressões das constantes A e B em termos da posição inicial x(0) e da velocidade inicial dotx(0).

Passo 2

Para encontrar A e B, vamos usar as condições iniciais fornecidas. Começamos substituindo t = 0 na expressão da solução geral para encontrar A:
x(0) = A cos(0) + B sin(0)
Sabemos que cos(0) = 1 e sin(0) = 0, então a equação simplifica para:
x(0) = A
Portanto, temos:
A = x(0)

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão de x(t) em relação ao tempo para encontrar a velocidade dotx(t):
dotx(t) = -A omega0 sin(omega0 t) + B omega0 cos(omega0 t)
Substituindo t = 0 na expressão da velocidade inicial:
dotx(0) = -A omega0 sin(0) + B omega0 cos(0)
Como sin(0) = 0 e cos(0) = 1, a equação fica:
dotx(0) = B omega0
Resolvendo para B, temos:
B = dotx(0)omega0

Resposta

As constantes são:
A = x(0) e B = dotx(0)omega0

Exercícios relacionados