A solução do oscilador harmónico simples
pode ser escrita da seguinte forma:
onde
e
podem ser determinadas utilizando as condições de contorno.
Determine a expressão de
e
em termos da posição inicial e velocidade inicial.
Determine a expressão de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o oscilador harmônico simples, cuja equação diferencial é dada por:
A solução geral dessa equação é:
Nosso objetivo é encontrar as expressões das constantes
e
em termos da posição inicial
e da velocidade inicial
.
Passo 2
Para encontrar
e
, vamos usar as condições iniciais fornecidas. Começamos substituindo
na expressão da solução geral para encontrar
:
Sabemos que
e
, então a equação simplifica para:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo para encontrar a velocidade
:
Substituindo
na expressão da velocidade inicial:
Como
e
, a equação fica:
Resolvendo para
, temos:
Resposta
As constantes são: