Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Escreva, como funções do tempo, as equações para o cálculo da energia cinética e da energia potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver uma pergunta sobre um oscilador harmônico simples que tem o movimento descrito por uma função cosseno, sem fase inicial. O que isso significa? Basicamente, temos um objeto que oscila de um lado para o outro de maneira periódica. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de energia cinética e energia potencial no contexto de oscilações harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que descreve o deslocamento desse oscilador ao longo do tempo. Como a função é do tipo cosseno e a fase inicial é zero, temos:
x(t) = A cos(omega t)
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilação (a maior distância que o objeto alcança a partir do ponto de equilíbrio) e $ \omega $ é a frequência angular da oscilação.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia cinética, precisamos da velocidade do objeto. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Vamos calcular isso:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t)

Passo 4

Com a velocidade em mãos, podemos calcular a energia cinética ($ T(t) $). A fórmula para energia cinética é:
T(t)
Substituindo $ v(t) $ na equação:
T(t) = 12 m v(t)^2
v(t)

Passo 5

Agora vamos para a energia potencial ($ U(t) $). Em um oscilador harmônico, a energia potencial está relacionada ao deslocamento e pode ser calculada usando a constante de mola $ k $. A fórmula é:
U(t)
Sabemos que $ k = m \omega^2 $, então substituindo na equação:
k
U(t) = 12 k x(t)^2

Resposta

As equações para a energia cinética e a energia potencial do oscilador harmônico simples são:
T(t) = 12 m A^2 omega^2 sin^2(omega t)
U(t) = 12 m A^2 omega^2 cos^2(omega t)

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