Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Escreva, como funções da coordenada espacial (ou do deslocamento), as equações para o cálculo da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica. Em seguida, em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função da coordenada espacial para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um oscilador harmônico simples, que é um sistema físico que oscila de um lado para o outro de maneira periódica, tipo um pêndulo ou uma mola. A função que descreve o deslocamento desse oscilador é uma função cosseno, e a fase inicial é zero. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica em função do deslocamento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre energia em movimentos oscilatórios e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função de deslocamento do oscilador. Como é uma função cosseno com fase zero, podemos escrever:
x(t) = A cos(omega t)
Onde:
  • $ x(t) $ é o deslocamento em função do tempo,
  • $ A $ é a amplitude da oscilação,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo.
Mas a questão quer as energias em função da coordenada espacial $ x $, então precisamos relacionar $ \omega t $ com $ x $. Sabemos que:
x(t)
Onde $ k $ é a constante elástica e $ m $ a massa do oscilador.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
Ec
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade $ v $. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Ec = 12 m v^2
Substituindo na fórmula da energia cinética:
v
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t)
Agora, vamos relacionar isso com $ x $. Sabemos que $ x = A \cos(\omega t) $, então $ \cos(\omega t) = \frac{x}{A} $ e $ \sin(\omega t) = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2} $. Substituindo:
Ec = 12 m ( -A omega sin(omega t) )^2
Ec = 12 m A^2 omega^2 sin^2(omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ($ E_p $). A energia potencial armazenada na mola ou no sistema elástico é:
Ep
Lembrando que $ \omega^2 = \frac{k}{m} $, podemos substituir:
Ep = 12 k x^2

Passo 5

A energia mecânica total ($ E_m $) em um oscilador harmônico simples é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Em
Substituindo as expressões que encontramos:
Em = Ec + Ep
Em = 12 m omega^2 (A^2 - x^2) + 12 m omega^2 x^2
Perceba que a energia mecânica total é constante e igual a $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, independente do deslocamento $ x $.

Passo 6

Por fim, vamos descrever os gráficos:
  • Energia Cinética ($ E_c $): É uma função que varia como $ A^2 - x^2 $, ou seja, tem um formato parabólico invertido. Ela é máxima quando o deslocamento $ x $ é zero e mínima (zero) nos extremos da oscilação ($ x = \pm A $).
  • Energia Potencial ($ E_p $): Varia proporcionalmente a $ x^2 $, formando uma parábola. Ela é mínima quando $ x = 0 $ e máxima nos pontos de máximo deslocamento ($ x = \pm A $).
  • Energia Mecânica ($ E_m $): É constante, representada por uma linha horizontal no gráfico, indicando que a soma das energias cinética e potencial sempre resulta na energia mecânica total $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $.

Resposta

As equações das energias em função do deslocamento $ x $ são:
x
Ec(x) = 12 m omega^2 (A^2 - x^2)
Ep(x) = 12 m omega^2 x^2
Os gráficos mostram que a energia cinética é máxima quando $ x = 0 $ e diminui nos extremos, a energia potencial é zero no centro e aumenta nos extremos, enquanto a energia mecânica total permanece constante.

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