Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Escreva, como funções da coordenada espacial (ou do deslocamento), as equações para o cálculo da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica. Em seguida, em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função da coordenada espacial para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica.
Escreva, como funções da coordenada espacial (ou do deslocamento), as equações para o cálculo da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica. Em seguida, em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função da coordenada espacial para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um oscilador harmônico simples, que é um sistema físico que oscila de um lado para o outro de maneira periódica, tipo um pêndulo ou uma mola. A função que descreve o deslocamento desse oscilador é uma função cosseno, e a fase inicial é zero. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica em função do deslocamento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre energia em movimentos oscilatórios e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de deslocamento do oscilador. Como é uma função cosseno com fase zero, podemos escrever:
Onde:
- $ x(t) $ é o deslocamento em função do tempo,
- $ A $ é a amplitude da oscilação,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ t $ é o tempo.
Mas a questão quer as energias em função da coordenada espacial $ x $, então precisamos relacionar $ \omega t $ com $ x $. Sabemos que:
Onde $ k $ é a constante elástica e $ m $ a massa do oscilador.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade $ v $. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Substituindo na fórmula da energia cinética:
Agora, vamos relacionar isso com $ x $. Sabemos que $ x = A \cos(\omega t) $, então $ \cos(\omega t) = \frac{x}{A} $ e $ \sin(\omega t) = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2} $. Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial ($ E_p $). A energia potencial armazenada na mola ou no sistema elástico é:
Lembrando que $ \omega^2 = \frac{k}{m} $, podemos substituir:
Passo 5
A energia mecânica total ($ E_m $) em um oscilador harmônico simples é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Substituindo as expressões que encontramos:
Perceba que a energia mecânica total é constante e igual a $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, independente do deslocamento $ x $.
Passo 6
Por fim, vamos descrever os gráficos:
-
Energia Cinética ($ E_c $): É uma função que varia como $ A^2 - x^2 $, ou seja, tem um formato parabólico invertido. Ela é máxima quando o deslocamento $ x $ é zero e mínima (zero) nos extremos da oscilação ($ x = \pm A $).
-
Energia Potencial ($ E_p $): Varia proporcionalmente a $ x^2 $, formando uma parábola. Ela é mínima quando $ x = 0 $ e máxima nos pontos de máximo deslocamento ($ x = \pm A $).
-
Energia Mecânica ($ E_m $): É constante, representada por uma linha horizontal no gráfico, indicando que a soma das energias cinética e potencial sempre resulta na energia mecânica total $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $.
Resposta
As equações das energias em função do deslocamento $ x $ são:
Os gráficos mostram que a energia cinética é máxima quando $ x = 0 $ e diminui nos extremos, a energia potencial é zero no centro e aumenta nos extremos, enquanto a energia mecânica total permanece constante.