Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Para a configuração do sistema na qual são iguais a energia cinética e a energia potencial determinar a fase (em graus e em radianos) da oscilação.
Para a configuração do sistema na qual são iguais a energia cinética e a energia potencial determinar a fase (em graus e em radianos) da oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre um oscilador harmônico simples onde o deslocamento é descrito por uma função cosseno com fase inicial igual a zero. A pergunta quer saber em que fase (em graus e radianos) a energia cinética é igual à energia potencial nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e a energia potencial em um oscilador harmônico e igualá-las para encontrar a fase desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico simples, o deslocamento $ x(t) $ pode ser descrito pela função:
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular e $ \phi $ é a fase inicial. No nosso caso, $ \phi = 0 $, então a função fica:
Passo 3
A velocidade $ v(t) $ é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Passo 4
A energia cinética ($ E_c $) é dada por:
E a energia potencial ($ E_p $) é:
Passo 5
No oscilador harmônico, a relação entre a constante elástica $ k $ e a massa $ m $ é:
Podemos substituir $ k $ por $ m \omega^2 $ na equação da energia potencial:
Passo 6
Queremos saber quando a energia cinética é igual à energia potencial:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Simplificando a equação (os termos $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $ se cancelam):
Isso implica que:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\omega t) $ (desde que $ \cos(\omega t) \neq 0 $):
Passo 9
Resolvendo para $ \omega t $:
Em radianos:
Resposta
A fase da oscilação em que a energia cinética é igual à energia potencial é de 45 graus ou
radianos e também de 135 graus ou
radianos.