Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Para a configuração do sistema na qual são iguais a energia cinética e a energia potencial determinar a fase (em graus e em radianos) da oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre um oscilador harmônico simples onde o deslocamento é descrito por uma função cosseno com fase inicial igual a zero. A pergunta quer saber em que fase (em graus e radianos) a energia cinética é igual à energia potencial nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e a energia potencial em um oscilador harmônico e igualá-las para encontrar a fase desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico simples, o deslocamento $ x(t) $ pode ser descrito pela função:
x(t)
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular e $ \phi $ é a fase inicial. No nosso caso, $ \phi = 0 $, então a função fica:
x(t) = A cos(omega t + phi)

Passo 3

A velocidade $ v(t) $ é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
v(t)

Passo 4

A energia cinética ($ E_c $) é dada por:
Ec
E a energia potencial ($ E_p $) é:
Ec = 12 m v(t)^2 = 12 m A^2 omega^2 sin^2(omega t)

Passo 5

No oscilador harmônico, a relação entre a constante elástica $ k $ e a massa $ m $ é:
k
Podemos substituir $ k $ por $ m \omega^2 $ na equação da energia potencial:
m

Passo 6

Queremos saber quando a energia cinética é igual à energia potencial:
Ec = Ep
Substituindo as expressões:
12 m omega^2 A^2 sin^2(omega t) = 12 m omega^2 A^2 cos^2(omega t)

Passo 7

Simplificando a equação (os termos $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $ se cancelam):
12 m omega^2 A^2
Isso implica que:
sin^2(omega t) = cos^2(omega t)

Passo 8

Dividindo ambos os lados por $ \cos(\omega t) $ (desde que $ \cos(\omega t) \neq 0 $):
cos(omega t)

Passo 9

Resolvendo para $ \omega t $:
omega t
Em radianos:
omega t = 45^circ ou omega t = 135^circ

Resposta

A fase da oscilação em que a energia cinética é igual à energia potencial é de 45 graus ou pi4 radianos e também de 135 graus ou 3pi4 radianos.

Exercícios relacionados