Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função do tempo para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica (no eixo horizontal construa duas escalas sendo uma delas para o tempo e a outra para a fase da oscilação).
Em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função do tempo para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica (no eixo horizontal construa duas escalas sendo uma delas para o tempo e a outra para a fase da oscilação).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um oscilador harmônico simples cuja posição varia com o tempo seguindo uma função cosseno, sem constante de fase. Nosso objetivo é construir gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função do tempo e da fase da oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas das energias envolvidas no oscilador harmônico e como elas variam com o tempo e a fase.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de deslocamento para o oscilador harmônico simples. Como mencionado, ela é uma função cosseno sem constante de fase:
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilação e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos derivar a velocidade $ v(t) $ dessa função de deslocamento em relação ao tempo:
Passo 4
Com a posição e a velocidade conhecidas, podemos determinar as energias cinética $ K $ e potencial $ U $. A energia cinética é dada por:
E a energia potencial é:
Lembrando que para um oscilador harmônico, $ k = m \omega^2 $.
Passo 5
A energia mecânica total $ E $ é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Simplificando:
Perceba que a energia mecânica total é constante ao longo do tempo.
Passo 6
Agora, vamos relacionar a fase $ \phi $ da oscilação com o tempo. A fase é dada por:
Então, podemos reescrever as expressões das energias em termos da fase:
E a energia mecânica continua sendo:
Passo 7
Com as expressões das energias em mãos, podemos esboçar os gráficos:
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Energia Cinética $ K(t) $ ou $ K(\phi) $: Varia com o seno ao quadrado, então será uma função que oscila entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, atingindo o máximo quando a velocidade é máxima (no deslocamento zero).
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Energia Potencial $ U(t) $ ou $ U(\phi) $: Varia com o cosseno ao quadrado, também oscilando entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, atingindo o máximo quando o deslocamento é máximo (velocidade zero).
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Energia Mecânica $ E $: Será uma linha reta constante no valor $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, já que a energia total não muda com o tempo.
Resposta
Construímos os gráficos das energias cinética e potencial variando no tempo e na fase da oscilação, ambas oscilando entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, enquanto a energia mecânica permanece constante em $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $.