Considere um oscilador harmônico simples com a função horária do deslocamento do tipo função cosseno, com constante de fase igual a zero.
Em um mesmo diagrama cartesiano construir gráficos em função do tempo para a energia cinética, para a energia potencial e a para a energia mecânica (no eixo horizontal construa duas escalas sendo uma delas para o tempo e a outra para a fase da oscilação).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um oscilador harmônico simples cuja posição varia com o tempo seguindo uma função cosseno, sem constante de fase. Nosso objetivo é construir gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função do tempo e da fase da oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas das energias envolvidas no oscilador harmônico e como elas variam com o tempo e a fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de deslocamento para o oscilador harmônico simples. Como mencionado, ela é uma função cosseno sem constante de fase:
x(t) = A cos(omega t)
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilação e $ \omega $ é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos derivar a velocidade $ v(t) $ dessa função de deslocamento em relação ao tempo:
v(t)

Passo 4

Com a posição e a velocidade conhecidas, podemos determinar as energias cinética $ K $ e potencial $ U $. A energia cinética é dada por:
K
E a energia potencial é:
U
Lembrando que para um oscilador harmônico, $ k = m \omega^2 $.

Passo 5

A energia mecânica total $ E $ é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E
Simplificando:
E = K(t) + U(t) = 12 m (A omega)^2 sin^2(omega t) + 12 m omega^2 A^2 cos^2(omega t)
Perceba que a energia mecânica total é constante ao longo do tempo.

Passo 6

Agora, vamos relacionar a fase $ \phi $ da oscilação com o tempo. A fase é dada por:
phi
Então, podemos reescrever as expressões das energias em termos da fase:
phi = omega t
K(phi) = 12 m omega^2 A^2 sin^2(phi)
E a energia mecânica continua sendo:
U(phi) = 12 m omega^2 A^2 cos^2(phi)

Passo 7

Com as expressões das energias em mãos, podemos esboçar os gráficos:
  • Energia Cinética $ K(t) $ ou $ K(\phi) $: Varia com o seno ao quadrado, então será uma função que oscila entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, atingindo o máximo quando a velocidade é máxima (no deslocamento zero).
  • Energia Potencial $ U(t) $ ou $ U(\phi) $: Varia com o cosseno ao quadrado, também oscilando entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, atingindo o máximo quando o deslocamento é máximo (velocidade zero).
  • Energia Mecânica $ E $: Será uma linha reta constante no valor $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, já que a energia total não muda com o tempo.

Resposta

Construímos os gráficos das energias cinética e potencial variando no tempo e na fase da oscilação, ambas oscilando entre 0 e $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $, enquanto a energia mecânica permanece constante em $ \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $.

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