(2) Uma escada homogênea de 5 m de comprimento e 10 kg está apoiada em uma parede vertical lisa e no chão horizontal áspero. Qual o coeficiente de atrito mínimo entre a escada e o chão para que ela não escorregue?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma escada de 5 metros de comprimento e 10 kg de peso, apoiada numa parede que não deixa a escada deslizar verticalmente (lisa) e no chão que é áspero. Nosso objetivo é descobrir qual é o coeficiente de atrito mínimo entre a escada e o chão para que ela não escorregue. Para isso, vamos usar os conceitos de estática, que é a parte da física que estuda o equilíbrio das forças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
- Peso §: A força da gravidade puxando a escada para baixo, que é $ P = m \times g $, onde $ m = 10 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
- Força Normal da Parede (N_p): Como a parede é lisa, ela só exerce uma força horizontal sobre a escada.
- Força Normal do Chão (N_c): É a força perpendicular que o chão exerce para cima na escada.
- Força de Atrito (f): É a força que impede a escada de escorregar, atuando na direção horizontal oposta à tendência de movimento.
Passo 3
Vamos aplicar as condições de equilíbrio, ou seja, a soma das forças em todas as direções deve ser zero.
Equilíbrio Horizontal:
Equilíbrio Vertical:
Agora, como a escada não gira, a soma dos torques (momentos de força) também deve ser zero. Vamos calcular o torque em relação ao ponto de contato da escada com o chão para simplificar.
Passo 4
Calculando os torques:
- O torque devido ao peso $ P $ está agindo no centro da escada, que está a $ 2,5 , m $ de cada extremidade. O braço de alavanca é $ \frac{5}{2} \cos(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo que a escada faz com o chão.
- O torque devido à força normal da parede $ N_p $ atua na ponta da escada, com um braço de alavanca de $ 5 \sin(\theta) $.
Como a soma dos torques deve ser zero:
Como $ N_p = f $ e $ f = \mu N_c = \mu P $, podemos substituir:
Simplificando $ P $ e $ 5 $:
Passo 5
Agora, para encontrar o coeficiente de atrito $ \mu $, vamos isolar ele na equação:
Para continuar, precisamos saber o ângulo $ \theta $ que a escada faz com o chão. No entanto, o exercício não fornece essa informação diretamente. Suponhamos que queremos o valor mínimo de $ \mu $ independente do ângulo, o que ocorre quando a escada está na posição vertical ($ \theta = 90^\circ $), mas isso não faz sentido aqui. Na verdade, precisamos de mais dados ou suposições sobre o ângulo para calcular $ \mu $.
Como o problema não especifica o ângulo, vamos considerar que a escada está inclinada de forma que os cálculos possam ser realizados de outra maneira, ou talvez seja esperado que $ \theta $ seja calculado a partir do comprimento e da altura, mas sem essa informação adicional, não podemos prosseguir numericamente.
Resposta
Com as informações fornecidas, o coeficiente de atrito mínimo necessário para que a escada não escorregue é:
Onde $ \theta $ é o ângulo que a escada faz com o chão. Para determinar um valor numérico, seria necessário conhecer esse ângulo.