Um sistema possui dois níveis de energia, -\Delta / 2 e \Delta / 2. Mostre que a função de partição canônica é
Z=\left(2 \operatorname{cosh} \frac{\beta \Delta}{2}\right)^{N},
em que \beta=1 /\left(k_{B} T\right). Obtenha a energia interna, a capacidade térmica, a energia livre de Helmholtz F e a entropia S. Esse sistema pode ser interpretado como um paramagneto de spin 1/2? Explique, demonstre, calcule.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com N graus de liberdade independentes, cada um podendo ocupar dois níveis de energia: -\Delta/2 e +\Delta/2. O objetivo é calcular a função de partição canônica Z, a energia interna U, a capacidade térmica C, a energia livre de Helmholtz F e a entropia S, além de mostrar que esse modelo equivale a um paramagneto de spin 1/2. Para isso vamos usar definição de partição, as relações termodinâmicas
U = -\frac{\partial\ln Z}{\partial \beta},\quad F=-k_{B}T\ln Z,\quad S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V},\quad C=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V},
com \beta=1/(k_{B}T).

Passo 2

Cada grau de liberdade tem partição individual
z = \exp\!\bigl(\beta\Delta/2\bigr)\;+\;\exp\!\bigl(-\beta\Delta/2\bigr) =2\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr).
Como são N sistemas independentes,
Z = z^{N} =\bigl(2\operatorname{cosh}\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr)^{N}.

Passo 3

A energia interna é
U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = -N\,\frac{\partial}{\partial \beta}\ln\!\bigl[2\operatorname{cosh}(\tfrac{\beta\Delta}{2})\bigr] = -N\;\frac{\Delta}{2}\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr).

Passo 4

A capacidade térmica é
C = \frac{\partial U}{\partial T} = -k_{B}\,\beta^{2}\,\frac{\partial U}{\partial \beta} = N\,k_{B}\,\bigl(\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr)^{2}\, \sech^{2}\!\bigl(\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr).

Passo 5

A energia livre de Helmholtz é
F = -k_{B}T\ln Z = -N\,k_{B}T\;\ln\!\bigl[2\operatorname{cosh}(\tfrac{\beta\Delta}{2})\bigr].

Passo 6

A entropia pode ser obtida por S=(U-F)/T ou S=-\partial F/\partial T. O resultado é
S = N\,k_{B}\Bigl[\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr) - \tfrac{\beta\Delta}{2}\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{\beta\Delta}{2}\bigr)\Bigr].

Passo 7

Interpretação como paramagneto de spin 1/2: cada spin tem dois estados s=\pm1 com energia E=-\mu B\,s. Isso equivale a E=\pm\Delta/2 se fizermos \Delta=2\mu B. As fórmulas de Z, U, C, F e S coincidem com as do paramagneto de momento magnético \mu em campo B, mostrando a equivalência dos modelos.

Resposta

Z=\bigl(2\operatorname{cosh}(\tfrac{\beta\Delta}{2})\bigr)^{N} U=-N\,\tfrac{\Delta}{2}\,\operatorname{tanh}(\tfrac{\beta\Delta}{2}) C=N\,k_{B}\,(\tfrac{\beta\Delta}{2})^{2}\,\sech^{2}(\tfrac{\beta\Delta}{2}) F=-N\,k_{B}T\ln\bigl[2\operatorname{cosh}(\tfrac{\beta\Delta}{2})\bigr] S=N\,k_{B}\bigl[\ln(2\operatorname{cosh}\tfrac{\beta\Delta}{2})-\tfrac{\beta\Delta}{2}\operatorname{tanh}(\tfrac{\beta\Delta}{2})\bigr]
Sim, é equivalente a um paramagneto de spin 1/2 com \Delta=2\mu B.

Exercícios relacionados