Considere uma partícula livre em uma caixa de comprimento
. Para uma certa energia
da partícula, mostre que o número de microestados acessíveis será
Passo 1
O enunciado trata de calcular, para uma partícula livre de massa
confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento
, quantos microestados clássicos estão contidos no intervalo de energia entre
e
. O método consiste em usar a quantização de fase clássica, segundo a qual cada microestado ocupa um volume
no espaço de fases
.
Passo 2
Em termos de fase, o número de microestados no intervalo de energia é
Aqui dividimos o volume de fase pela constante de Planck
.
Passo 3
A integral em
é trivial, pois
varia de
a
:
Logo
Passo 4
A condição
impõe
Como
pode ser positivo ou negativo, a integral em
vale
Portanto
Passo 5
Para
pequeno, usamos a aproximação de primeira ordem em
:
Assim,
Substituindo em
dá