Considere uma partícula livre em uma caixa de comprimento L. Para uma certa energia E da partícula, mostre que o número de microestados acessíveis será
\Omega(E, L)=L\left(\frac{2 m}{E}\right)^{1 / 2} \frac{\delta E}{h}

Passo 1

O enunciado trata de calcular, para uma partícula livre de massa m confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento L, quantos microestados clássicos estão contidos no intervalo de energia entre E e E+\delta E. O método consiste em usar a quantização de fase clássica, segundo a qual cada microestado ocupa um volume h no espaço de fases (q,p).

Passo 2

Em termos de fase, o número de microestados no intervalo de energia é
\Omega(E,L)\;=\;\frac{1}{h}\iint_{\substack{E\le \frac{p^{2}}{2m}\le E+\delta E}}dq\,dp.
Aqui dividimos o volume de fase pela constante de Planck h.

Passo 3

A integral em q é trivial, pois q varia de 0 a L:
\int dq = L.
Logo
\Omega(E,L)=\frac{L}{h}\;\int_{\substack{E\le \frac{p^{2}}{2m}\le E+\delta E}}dp.

Passo 4

A condição E\le p^{2}/(2m)\le E+\delta E impõe
\sqrt{2mE}\le |p|\le \sqrt{2m(E+\delta E)}.
Como p pode ser positivo ou negativo, a integral em p vale
\int dp = 2\Bigl[\sqrt{2m(E+\delta E)}-\sqrt{2mE}\Bigr].
Portanto
\Omega(E,L)=\frac{2L}{h}\,\Bigl[\sqrt{2m(E+\delta E)}-\sqrt{2mE}\Bigr].

Passo 5

Para \delta E pequeno, usamos a aproximação de primeira ordem em \delta E:
\sqrt{E+\delta E}-\sqrt{E} \approx \frac{\delta E}{2\sqrt{E}}.
Assim,
\sqrt{2m(E+\delta E)}-\sqrt{2mE} =\sqrt{2m}\,\bigl(\sqrt{E+\delta E}-\sqrt{E}\bigr) \approx \sqrt{2m}\,\frac{\delta E}{2\sqrt{E}} =\frac{\delta E}{2}\sqrt{\frac{2m}{E}}.
Substituindo em \Omega(E,L)
\Omega(E,L) \approx \frac{2L}{h}\,\frac{\delta E}{2}\sqrt{\frac{2m}{E}} =L\,\sqrt{\frac{2m}{E}}\,\frac{\delta E}{h}.

Resposta

\Omega(E, L) = L\left(\frac{2m}{E}\right)^{1/2}\frac{\delta E}{h}.

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