Considere um oscilador harmônico unidimensional de massa m\) e frequência \(\omega_{0}\). Para \(t<0\) o oscilador se encontra no estado fundamental \(|0\rangle\). No instante \(t=0\) é submetido a uma perturbação de duração \(\tau\),
\[\hat{W}(t)= \begin{cases}-e E \hat{x} & \text { para } 0 \leq t \leq \tau ; \\\\ 0 & \text { para } t<0 \text { e para } t>\tau,\end{cases}
onde \hat{x}\] é o operador de posição, \(e é a carga do oscilador e E é o campo elétrico constante aplicado.
1- (a) Em primeira ordem em teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema no primeiro estado excitado. (b) Determinar em primeira ordem diferente de zero, a probabilidade de encontrar o sistema no segundo estado excitado (Em primeira ordem será zero, portanto, será necessário cosiderar o efeito da perturbação em segunda ordem).
Passo 1
O enunciado dá um oscilador harmônico unidimensional de massa m\) e frequência \(\omega_{0}\) que para \(t<0\) está no estado fundamental \(|0\rangle\). No instante \(t=0\) aplica-se uma perturbação temporal de duração \(\tau\),
\[\hat{W}(t)= \begin{cases} -e E \hat{x} & \text{para } 0\le t\le \tau,\\\\ 0 & \text{para } t<0 \text{ e } t>\tau, \end{cases}
onde \hat{x}\] é o operador posição, \(e é a carga e E é um campo elétrico constante durante o pulso.
As perguntas são:
(a) Em primeira ordem, determinar a probabilidade de encontrar o sistema no primeiro estado excitado |1\rangle após o pulso.
(b) Em primeira ordem ela é zero para |2\rangle; portanto, calcular em segunda ordem a probabilidade de encontrar o sistema no segundo estado excitado |2\rangle.
Informações relevantes que vamos usar (explicitadas para não pular etapas):
Estados de energia do oscilador: \displaystyle E_n=\hbar\omega_{0}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).
Diferenças angulares de frequência: \displaystyle \omega_{n0}=\frac{E_n-E_0}{\hbar}=n\omega_0.
A perturbação é temporalmente constante durante 0\le t\le\tau (portanto os elementos de matriz temporais são constantes nesse intervalo).
O operador posição pode ser escrito em termos dos operadores creadores/aniquiladores:
onde a soma em k é sobre estados intermediários. A probabilidade até segunda ordem é aproximadamente P_n\approx |c_n^{(1)}|^2 + |c_n^{(2)}|^2 (quando c_n^{(1)} e c_n^{(2)} têm ordens de grandeza distintas).
Passo 3
Calculo os elementos de matriz de \hat{x} entre os estados base do oscilador (essa é a “regra de seleção” e o valor numérico):
Usando \hat{x}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega_0}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger) e as propriedades \hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle, \hat{a}^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle, obtemos:
Comentário amigável: isso explica por que a transição direta |0\rangle\to|2\rangle por um operador linear em \hat{x} é proibida em primeira ordem — \hat{x} só conecta níveis adjacentes.
Passo 4
Cálculo explícito da amplitude de primeira ordem para |1\rangle.
Como \hat{W}(t)= -eE\hat{x} constante para 0\le t\le\tau, temos W_{10}(t')=-eE\langle1|\hat{x}|0\rangle (independente de t' nesse intervalo). Assim:
Interpretação rápida: a probabilidade oscila com \tau via \sin^2(\omega_0\tau/2) (máxima quando \omega_0\tau=(2k+1)\pi) e escala com (eE)^2 (pequena se o campo é fraco).
Passo 6
Observação sobre |2\rangle em primeira ordem.
Pelo item anterior de seleção, \langle2|\hat{x}|0\rangle=0. Assim
Como W_{nm}(t)=-eE\langle n|\hat{x}|m\rangle durante o pulso, os fatores W_{2k}W_{k0} são proporcionais a \langle2|\hat{x}|k\rangle\langle k|\hat{x}|0\rangle. Pelas regras de seleção de \hat{x} só há contribuição não nula para k=1 (pois \hat{x} conecta apenas níveis adjacentes). Portanto a soma em k reduz-se a k=1.