Considere um oscilador harmônico unidimensional de massa m\) e frequência \(\omega_{0}\). Para \(t<0\) o oscilador se encontra no estado fundamental \(|0\rangle\). No instante \(t=0\) é submetido a uma perturbação de duração \(\tau\), \[\hat{W}(t)= \begin{cases}-e E \hat{x} & \text { para } 0 \leq t \leq \tau ; \\\\ 0 & \text { para } t<0 \text { e para } t>\tau,\end{cases}
onde \hat{x}\] é o operador de posição, \(e é a carga do oscilador e E é o campo elétrico constante aplicado.
1- (a) Em primeira ordem em teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema no primeiro estado excitado. (b) Determinar em primeira ordem diferente de zero, a probabilidade de encontrar o sistema no segundo estado excitado (Em primeira ordem será zero, portanto, será necessário cosiderar o efeito da perturbação em segunda ordem).

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico unidimensional de massa m\) e frequência \(\omega_{0}\) que para \(t<0\) está no estado fundamental \(|0\rangle\). No instante \(t=0\) aplica-se uma perturbação temporal de duração \(\tau\), \[\hat{W}(t)= \begin{cases} -e E \hat{x} & \text{para } 0\le t\le \tau,\\\\ 0 & \text{para } t<0 \text{ e } t>\tau, \end{cases}
onde \hat{x}\] é o operador posição, \(e é a carga e E é um campo elétrico constante durante o pulso.
As perguntas são:
  1. (a) Em primeira ordem, determinar a probabilidade de encontrar o sistema no primeiro estado excitado |1\rangle após o pulso.
  2. (b) Em primeira ordem ela é zero para |2\rangle; portanto, calcular em segunda ordem a probabilidade de encontrar o sistema no segundo estado excitado |2\rangle.
Informações relevantes que vamos usar (explicitadas para não pular etapas):
  • Estados de energia do oscilador: \displaystyle E_n=\hbar\omega_{0}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).
  • Diferenças angulares de frequência: \displaystyle \omega_{n0}=\frac{E_n-E_0}{\hbar}=n\omega_0.
  • A perturbação é temporalmente constante durante 0\le t\le\tau (portanto os elementos de matriz temporais são constantes nesse intervalo).
  • O operador posição pode ser escrito em termos dos operadores creadores/aniquiladores:
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_{0}}}\,(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}),
o que implica regras de seleção que conectam apenas níveis adjacentes ( \langle n|\hat{x}|m\rangle\neq 0 somente para m=n\pm1).

Passo 2

Apresento a fórmula de teoria de perturbações dependente do tempo, ordem por ordem, e explico cada símbolo (aula curta e prática).
Fórmula de primeira ordem para a amplitude de transição do estado inicial |0\rangle para |n\rangle (para t após o pulso, aqui t=\tau):
c_n^{(1)}(\tau)= -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{\tau} dt'\, W_{n0}(t')\, e^{i\omega_{n0} t'},
onde W_{n0}(t')=\langle n|\hat{W}(t')|0\rangle e \omega_{n0}=(E_n-E_0)/\hbar.
A probabilidade em primeira ordem é P_n^{(1)}=|c_n^{(1)}(\tau)|^2.
Fórmula de segunda ordem para a amplitude c_n^{(2)}(\tau) (essencial para |2\rangle):
c_n^{(2)}(\tau)=-\frac{1}{\hbar^2}\sum_k\int_0^{\tau}dt'\int_0^{t'}dt''\,W_{nk}(t')W_{k0}(t'')\,e^{i(\omega_{nk}t'+\omega_{k0}t'')},
onde a soma em k é sobre estados intermediários. A probabilidade até segunda ordem é aproximadamente P_n\approx |c_n^{(1)}|^2 + |c_n^{(2)}|^2 (quando c_n^{(1)} e c_n^{(2)} têm ordens de grandeza distintas).

Passo 3

Calculo os elementos de matriz de \hat{x} entre os estados base do oscilador (essa é a “regra de seleção” e o valor numérico):
Usando \hat{x}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega_0}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger) e as propriedades \hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle, \hat{a}^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle, obtemos:
\langle n|\hat{x}|m\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_0}}\big(\sqrt{m+1}\,\delta_{n,m+1}+\sqrt{m}\,\delta_{n,m-1}\big).
Dali vêm valores úteis:
\langle 1|\hat{x}|0\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_0}}, \qquad \langle 2|\hat{x}|0\rangle = 0,
\langle 2|\hat{x}|1\rangle = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_0}}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_0}}\,\frac{1}{\sqrt{2}} \quad\text{(mais convenientemente: }\langle 2|\hat{x}|1\rangle=\sqrt{2}\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega_0}}\text{).}
Comentário amigável: isso explica por que a transição direta |0\rangle\to|2\rangle por um operador linear em \hat{x} é proibida em primeira ordem — \hat{x} só conecta níveis adjacentes.

Passo 4

Cálculo explícito da amplitude de primeira ordem para |1\rangle.
Como \hat{W}(t)= -eE\hat{x} constante para 0\le t\le\tau, temos W_{10}(t')=-eE\langle1|\hat{x}|0\rangle (independente de t' nesse intervalo). Assim:
c_1^{(1)}(\tau)=-\frac{i}{\hbar}(-eE)\langle1|\hat{x}|0\rangle \int_0^{\tau}dt'\,e^{i\omega_{10}t'}.
Aqui \omega_{10}=\omega_0. Computando a integral:
\int_0^{\tau} e^{i\omega_0 t'}dt'=\frac{e^{i\omega_0\tau}-1}{i\omega_0}.
Logo
c_1^{(1)}(\tau)= -\frac{i}{\hbar}(-eE)\langle1|\hat{x}|0\rangle\cdot\frac{e^{i\omega_0\tau}-1}{i\omega_0}.
Simplificando os fatores i:
c_1^{(1)}(\tau)=\frac{eE}{\hbar\omega_0}\langle1|\hat{x}|0\rangle\big(e^{i\omega_0\tau}-1\big).

Passo 5

Cálculo da probabilidade P_1 e simplificação usando identidade trigonométrica.
A probabilidade é
P_1^{(1)}=|c_1^{(1)}(\tau)|^2 =\left(\frac{eE}{\hbar\omega_0}\right)^2|\langle1|\hat{x}|0\rangle|^2\,|e^{i\omega_0\tau}-1|^2.
Usamos |e^{i\theta}-1|^2=4\sin^2\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big) e o valor |\langle1|\hat{x}|0\rangle|^2=\dfrac{\hbar}{2m\omega_0}. Portanto
P_1^{(1)}=\left(\frac{eE}{\hbar\omega_0}\right)^2\frac{\hbar}{2m\omega_0}\,4\sin^2\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big).
Simplificando fatores:
P_1^{(1)}=\frac{2(eE)^2}{m\hbar\omega_0^3}\,\sin^2\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big).
Interpretação rápida: a probabilidade oscila com \tau via \sin^2(\omega_0\tau/2) (máxima quando \omega_0\tau=(2k+1)\pi) e escala com (eE)^2 (pequena se o campo é fraco).

Passo 6

Observação sobre |2\rangle em primeira ordem.
Pelo item anterior de seleção, \langle2|\hat{x}|0\rangle=0. Assim
c_2^{(1)}(\tau)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^\tau dt'\,(-eE)\langle2|\hat{x}|0\rangle e^{i\omega_{20}t'}=0.
Logo a contribuição de primeira ordem para |2\rangle é nula — precisamos calcular a amplitude de segunda ordem.

Passo 7

Escrevo a expressão de segunda ordem e identifico os estados intermediários relevantes.
A expressão de segunda ordem é
c_2^{(2)}(\tau)=-\frac{1}{\hbar^2}\sum_k\int_0^{\tau}dt'\int_0^{t'}dt''\,W_{2k}(t')W_{k0}(t'')\,e^{i(\omega_{2k}t'+\omega_{k0}t'')}.
Como W_{nm}(t)=-eE\langle n|\hat{x}|m\rangle durante o pulso, os fatores W_{2k}W_{k0} são proporcionais a \langle2|\hat{x}|k\rangle\langle k|\hat{x}|0\rangle. Pelas regras de seleção de \hat{x} só há contribuição não nula para k=1 (pois \hat{x} conecta apenas níveis adjacentes). Portanto a soma em k reduz-se a k=1.
Substituindo k=1:
c_2^{(2)}(\tau)=-\frac{1}{\hbar^2}(-eE)^2\langle2|\hat{x}|1\rangle\langle1|\hat{x}|0\rangle \int_0^{\tau}dt'\int_0^{t'}dt''\,e^{i(\omega_{21}t'+\omega_{10}t'')}.

Passo 8

Calculo da integral temporal dupla. Observação: para o oscilador \omega_{21}=\omega_{10}=\omega_0.
Primeiro faço a integral interna:
\int_0^{t'}e^{i\omega_{10}t''}dt''=\frac{e^{i\omega_0 t'}-1}{i\omega_0}.
Então a integral externa é
I\equiv\int_0^{\tau}e^{i\omega_{21}t'}\frac{e^{i\omega_0 t'}-1}{i\omega_0}dt' =\frac{1}{i\omega_0}\int_0^{\tau}\big(e^{i2\omega_0 t'}-e^{i\omega_0 t'}\big)\frac{dt'}{ }.
Integrando cada termo:
I=\frac{1}{i\omega_0}\Big(\frac{e^{i2\omega_0\tau}-1}{i2\omega_0}-\frac{e^{i\omega_0\tau}-1}{i\omega_0}\Big).
Simplificando (usando 1/(i\cdot i)=-1) obtém-se a forma compacta
I=-\frac{\big(e^{i\omega_0\tau}-1\big)^2}{2\omega_0^2}.
Nota de verificação: o numerador é (e^{i\omega_0\tau}-1)^2=e^{i2\omega_0\tau}-2e^{i\omega_0\tau}+1, que coincide com a combinação acima.

Passo 9

Avalio os elementos de matriz e monto c_2^{(2)}.
Temos (-eE)^2= e^2E^2 e o produto das matrizes
\langle2|\hat{x}|1\rangle\langle1|\hat{x}|0\rangle= \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_0}}\cdot\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_0}} = \frac{\hbar\sqrt{2}}{2m\omega_0}.
Assim
c_2^{(2)}(\tau)=-\frac{1}{\hbar^2}\,e^2E^2\cdot\frac{\hbar\sqrt{2}}{2m\omega_0}\cdot I.
Substituindo I=-\dfrac{(e^{i\omega_0\tau}-1)^2}{2\omega_0^2} os sinais negativos se cancelam e obtemos
c_2^{(2)}(\tau)=\frac{e^2E^2}{\hbar^2}\cdot\frac{\hbar\sqrt{2}}{2m\omega_0}\cdot\frac{(e^{i\omega_0\tau}-1)^2}{2\omega_0^2}.
Simplificando um fator \hbar:
c_2^{(2)}(\tau)=\frac{e^2E^2\sqrt{2}}{4\,m\hbar\omega_0^3}\,\big(e^{i\omega_0\tau}-1\big)^2.

Passo 10

Cálculo da probabilidade P_2 em segunda ordem (módulo ao quadrado da amplitude de segunda ordem).
P_2^{(2)}=|c_2^{(2)}(\tau)|^2 =\left(\frac{e^2E^2\sqrt{2}}{4\,m\hbar\omega_0^3}\right)^2 \big|e^{i\omega_0\tau}-1\big|^4.
Usando \big|e^{i\omega_0\tau}-1\big|^2=4\sin^2\!\big(\tfrac{\omega_0\tau}{2}\big) temos \big|e^{i\omega_0\tau}-1\big|^4=16\sin^4\!\big(\tfrac{\omega_0\tau}{2}\big). Portanto
P_2^{(2)}=\left(\frac{e^2E^2\sqrt{2}}{4\,m\hbar\omega_0^3}\right)^2 16\sin^4\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big).
Simplificando os coeficientes:
P_2^{(2)}=\frac{2\,e^4E^4}{m^2\hbar^2\omega_0^6}\,\sin^4\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big).

Resposta

\displaystyle P_1^{(1)}=\frac{2(eE)^2}{m\hbar\omega_0^3}\,\sin^2\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big)\n
\displaystyle P_2^{(2)}=\frac{2\,e^4E^4}{m^2\hbar^2\omega_0^6}\,\sin^4\!\Big(\frac{\omega_0\tau}{2}\Big)

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