Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
V(x)=m w x^22
Em que mid n> denota o autoestado de energia:
En=(n+12) hbar w
© Calcule o produto abaixo para um estado | n> do oscilador harmônico e responda se o resultado é consistente com o principio da incerteza de Heisenberg

widehatDe

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está olhando para um oscilador harmônico unidimensional, que é tipo um objeto que se move de um lado para o outro como uma mola ou um pêndulo. A função de potencial desse sistema é dada por:
V(x) = m omega^2 x^22
Aqui, m é a massa, omega é a frequência angular, e x é a posição. A gente também sabe que os estados de energia desse sistema são representados por |nrang<=, com as energias:
En = (n + 12) hbar omega
O que a gente precisa fazer agora é calcular o produto das incertezas na posição ( De) e no momento ( De) para um desses estados |nrang<=, e ver se isso está de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas incertezas De e De. Na mecânica quântica, elas são definidas como:
De
De
Mas, para os estados de energia |nrang<= do oscilador harmônico, a média da posição lang<= x rang<= e a média do momento lang<= px rang<= são iguais a zero. Isso simplifica as expressões para:
De
De

Passo 3

Agora, precisamos calcular lang<= x^2 rang<= e lang<= px^2 rang<= para o estado |nrang<=. Para o oscilador harmônico, essas médias são conhecidas e dadas por:
lang<= x^2 rang<= = hbar2 m omega (2n + 1)
lang<= px^2 rang<= = hbar m omega2 (2n + 1)
Onde hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Agora, vamos calcular De e De usando essas médias:
De
De

Passo 5

Agora, vamos multiplicar De por De:
De
Multiplicando as duas raízes:
De
Simplificando os termos:
De

Passo 6

Agora, vamos comparar esse resultado com o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que nos diz que:
No nosso caso, encontramos que:
De
Como n é um número inteiro que começa de 0, n + 12 sempre será maior ou igual a 12. Portanto:
Isso está totalmente de acordo com o princípio de Heisenberg.

Resposta

O produto das incertezas é De, o que está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.

Exercícios relacionados