Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
© Calcule o produto abaixo para um estado |
do oscilador harmônico e responda se o resultado é consistente com o principio da incerteza de Heisenberg
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está olhando para um oscilador harmônico unidimensional, que é tipo um objeto que se move de um lado para o outro como uma mola ou um pêndulo. A função de potencial desse sistema é dada por:
Aqui,
é a massa,
é a frequência angular, e
é a posição. A gente também sabe que os estados de energia desse sistema são representados por
, com as energias:
O que a gente precisa fazer agora é calcular o produto das incertezas na posição (
) e no momento (
) para um desses estados
, e ver se isso está de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas incertezas
e
. Na mecânica quântica, elas são definidas como:
Mas, para os estados de energia
do oscilador harmônico, a média da posição
e a média do momento
são iguais a zero. Isso simplifica as expressões para:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
para o estado
. Para o oscilador harmônico, essas médias são conhecidas e dadas por:
Onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
usando essas médias:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
:
Multiplicando as duas raízes:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos comparar esse resultado com o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que nos diz que:
No nosso caso, encontramos que:
Como
é um número inteiro que começa de 0,
sempre será maior ou igual a
. Portanto:
Isso está totalmente de acordo com o princípio de Heisenberg.
Resposta
O produto das incertezas é
, o que está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.