Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
V(x)=m w x^22
Em que mid n> denota o autoestado de energia:
En=(n+12) hbar w
(a) Calcule
(v) lang<= m| p^2|nrang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre o oscilador harmônico unidimensional, que é um modelo fundamental na física para descrever sistemas que vibram, tipo molas ou pêndulos. A gente vai trabalhar com o potencial $ V(x) = \frac{m \omega^2 x^{2}}{2} $, que basicamente descreve a energia potencial desse sistema. O enunciado nos pede para calcular o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $, onde $ |n\rangle $ e $ |m\rangle $ são autoestados de energia, e $ \hat{p} $ é o operador momento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores, autoestados e como calcular esses valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no contexto quântico, o operador momento $ \hat{p} $ está relacionado ao movimento das partículas e é definido como $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $, mas no caso do oscilador harmônico, é mais útil expressar $ \hat{p} $ em termos dos operadores de criação ($ \hat{a}^\dagger p çã \hat{a} $). Esses operadores facilitam muito os cálculos com autoestados.
Para o oscilador harmônico, podemos escrever:
p = -ihbar ddx

Passo 3

Agora, queremos calcular $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $. Vamos começar elevando o operador $ \hat{p} $ ao quadrado:
lang<= m| p^2|n rang<=
Expandindo o quadrado:
p

Passo 4

Sabemos que os operadores de criação e aniquilação satisfazem a relação de comutação:
[a, a^dag>=r] = 1 Rightarrow a a^dag>=r = a^dag>=r a + 1
Substituindo isso na expressão anterior:
(a^dag>=r - a)^2 = a^dag>=r 2 - a^dag>=r a - (a^dag>=r a + 1) + a^2 = a^dag>=r 2 - 2a^dag>=r a - 1 + a^2

Passo 5

Agora, voltando ao $ \hat{p}^{2} $:
p^2
Queremos calcular o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $, então vamos aplicar isso:
p^2 = -mhbaromega2 (a^dag>=r 2 - 2a^dag>=r a - 1 + a^2)

Passo 6

Sabemos que os autoestados $ |n\rangle $ são ortogonais e que os operadores $ \hat{a} $ e $ \hat{a}^\dagger $ agem de maneira específica nesses estados:
|nrang<=
Isso significa que certos termos serão zero devido à ortogonalidade dos estados:
a
a^dag>=r
a |nrang<= = raizn |n-1rang<= e a^dag>=r |nrang<= = raizn+1 |n+1rang<=
lang<= m| a^2 |n rang<= = 0 a menos que m = n-2

Passo 7

Portanto, a expressão para $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ simplifica para:
lang<= m| p^2|n rang<=
Simplificando ainda mais:
lang<= m| p^2|n rang<= = -mhbaromega2 ( raiz(n+1)(n+2) de

Passo 8

Finalmente, observamos que o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ é zero a menos que $ m = n $ ou $ m = n \pm 2 $. Assim, a expressão final fica:
lang<= m| p^2|n rang<=

Resposta

O valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ é dado por
lang<= m| p^2|n rang<=
onde $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, que vale 1 quando $ m = n $ e 0 caso contrário.

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