Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
(a) Calcule
(v)
(v)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre o oscilador harmônico unidimensional, que é um modelo fundamental na física para descrever sistemas que vibram, tipo molas ou pêndulos. A gente vai trabalhar com o potencial $ V(x) = \frac{m \omega^2 x^{2}}{2} $, que basicamente descreve a energia potencial desse sistema. O enunciado nos pede para calcular o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $, onde $ |n\rangle $ e $ |m\rangle $ são autoestados de energia, e $ \hat{p} $ é o operador momento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores, autoestados e como calcular esses valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no contexto quântico, o operador momento $ \hat{p} $ está relacionado ao movimento das partículas e é definido como $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $, mas no caso do oscilador harmônico, é mais útil expressar $ \hat{p} $ em termos dos operadores de criação ($ \hat{a}^\dagger
\hat{a} $). Esses operadores facilitam muito os cálculos com autoestados.
Para o oscilador harmônico, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos calcular $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $. Vamos começar elevando o operador $ \hat{p} $ ao quadrado:
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Sabemos que os operadores de criação e aniquilação satisfazem a relação de comutação:
Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 5
Agora, voltando ao $ \hat{p}^{2} $:
Queremos calcular o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $, então vamos aplicar isso:
Passo 6
Sabemos que os autoestados $ |n\rangle $ são ortogonais e que os operadores $ \hat{a} $ e $ \hat{a}^\dagger $ agem de maneira específica nesses estados:
Isso significa que certos termos serão zero devido à ortogonalidade dos estados:
Passo 7
Portanto, a expressão para $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ simplifica para:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Finalmente, observamos que o valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ é zero a menos que $ m = n $ ou $ m = n \pm 2 $. Assim, a expressão final fica:
Resposta
O valor esperado $ \langle m| \hat{p}^{2}|n \rangle $ é dado por
onde $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, que vale 1 quando $ m = n $ e 0 caso contrário.