Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
(a) Calcule
(ii)
(ii)
Passo 1
Então, você tem um exercício sobre o oscilador harmônico unidimensional, que é um modelo fundamental na física para descrever sistemas que vibram ao redor de uma posição de equilíbrio. A função potencial é dada por:
Aqui, $ m $ é a massa, $ \omega $ é a frequência angular, e $ x $ é a posição. Além disso, sabemos que os autoestados de energia $ |n\rangle $ têm energias:
Nosso objetivo é calcular o elemento matricial do operador momento $ \hat{p} $ entre dois desses estados de energia, ou seja, $ \langle m | \hat{p} | n \rangle $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expressar o operador momento $ \hat{p} $ no contexto do oscilador harmônico. Na mecânica quântica, para o oscilador harmônico, podemos escrever $ \hat{p} $ em termos dos operadores de subida $ \hat{a}^\dagger $ e descida $ \hat{a} $:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, queremos calcular o elemento matricial $ \langle m | \hat{p} | n \rangle $. Substituindo a expressão de $ \hat{p} $:
Passo 4
Vamos usar as propriedades dos operadores de subida e descida. Sabemos que:
Além disso, os autoestados são ortogonais, ou seja, $ \langle m | n \rangle = \delta_{m,n} $, onde $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker.
Então, podemos calcular:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na equação do Passo 3:
Resposta
Portanto, o elemento matricial do operador momento entre os estados $ |m\rangle $ e $ |n\rangle $ é: