Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
(a) Calcule
(iii)
(iii)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender quais conceitos vamos precisar usar. Temos um oscilador harmônico unidimensional com um potencial dado por:
Os estados de energia desse sistema são representados por $ |n\rangle $ e têm energia:
A parte (a)(iii) da questão nos pede para calcular:
Para resolver isso, vamos precisar usar os operadores de posição ($ \hat{x}
\hat{p} $), além das regras de comutação e das propriedades dos estados de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como os operadores posição e momento são expressos em termos dos operadores de criação ($ \hat{a}^\dagger
\hat{a} $) para o oscilador harmônico:
Vamos substituir essas expressões na matriz que queremos calcular.
Passo 3
Substituindo $ \hat{x} $ e $ \hat{p} $ na expressão $ \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} $:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Vamos expandir os produtos de operadores:
Somando essas duas expressões:
Simplificando os termos:
Passo 5
Lembrando que os operadores de aniquilação e criação obedecem a relação de comutação:
Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Voltando à expressão original para $ \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos calcular o elemento de matriz $ \langle m| \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} |n \rangle $. Substituindo a expressão que encontramos:
Vamos analisar cada termo separadamente.
Passo 8
Vamos calcular cada um dos termos separadamente:
-
$ \langle m| \hat{a}^2 |n \rangle $: Este termo envolve a ação de dois operadores de aniquilação, que reduzem o número de quanta em 2. Isso só será diferente de zero se $ m = n - 2 $.
-
$ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger |n \rangle $: Ação de dois operadores de criação, aumentando o número de quanta em 2. Só será diferente de zero se $ m = n + 2 $.
-
$ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a} |n \rangle $: Este termo conta o número de quanta. É não nulo se $ m = n $.
-
$ \langle m| 1 |n \rangle $: Este é o produto escalar dos estados $ |m\rangle $ e $ |n\rangle $, que é zero a menos que $ m = n $.
Passo 9
Considerando as condições acima, a expressão geral para $ \langle m| \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} |n \rangle $ será:
onde $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, que é 1 se $ m = n $ e 0 caso contrário.
Resposta
A matriz $ \langle m| \hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x} |n \rangle $ é dada por:
Onde:
- $ \langle m| \hat{a}^2 |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n - 2 $.
- $ \langle m| (\hat{a}\dagger)2 |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n + 2 $.
- $ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a} |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n $.
- $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, igual a 1 se $ m = n $ e 0 caso contrário.
Portanto, o valor final depende das relações entre $ m $ e $ n $ conforme descrito.