Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
V(x)=m w x^22
Em que mid n> denota o autoestado de energia:
En=(n+12) hbar w
(a) Calcule
(iii) lang<= m| x p+p x|nrang<=

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender quais conceitos vamos precisar usar. Temos um oscilador harmônico unidimensional com um potencial dado por:
V(x) = m omega^2 x^22
Os estados de energia desse sistema são representados por $ |n\rangle $ e têm energia:
|nrang<=
A parte (a)(iii) da questão nos pede para calcular:
En = (n + 12) hbar omega
Para resolver isso, vamos precisar usar os operadores de posição ($ \hat{x} lang<= m| x p + p x |nrang<= \hat{p} $), além das regras de comutação e das propriedades dos estados de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como os operadores posição e momento são expressos em termos dos operadores de criação ($ \hat{a}^\dagger a^dag>=r çã \hat{a} $) para o oscilador harmônico:
a
x = raizhbar2 m omega (a + a^dag>=r)
Vamos substituir essas expressões na matriz que queremos calcular.

Passo 3

Substituindo $ \hat{x} $ e $ \hat{p} $ na expressão $ \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} $:
x
Simplificando os coeficientes:
p

Passo 4

Vamos expandir os produtos de operadores:
(a + a^dag>=r)(a^dag>=r - a) = aa^dag>=r - a^2 + a^dag>=r a^dag>=r - a^dag>=r a
(a^dag>=r - a)(a + a^dag>=r) = a^dag>=r a + a^dag>=r a^dag>=r - a^2 - a a^dag>=r
Somando essas duas expressões:
(a + a^dag>=r)(a^dag>=r - a) + (a^dag>=r - a)(a + a^dag>=r) = (aa^dag>=r - a^2 + a^dag>=r a^dag>=r - a^dag>=r a) + (a^dag>=r a + a^dag>=r a^dag>=r - a^2 - a a^dag>=r)
Simplificando os termos:
= -2a^2 + 2a^dag>=r a^dag>=r - 2a a^dag>=r

Passo 5

Lembrando que os operadores de aniquilação e criação obedecem a relação de comutação:
a a^dag>=r = a^dag>=r a + 1
Substituindo isso na expressão:
-2a^2 + 2a^dag>=r a^dag>=r - 2(a^dag>=r a + 1) = -2a^2 + 2a^dag>=r a^dag>=r - 2a^dag>=r a - 2

Passo 6

Voltando à expressão original para $ \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} $:
xp + px
Simplificando:
xp + px = i hbar2 (-2a^2 + 2a^dag>=r a^dag>=r - 2a^dag>=r a - 2)

Passo 7

Agora, queremos calcular o elemento de matriz $ \langle m| \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} |n \rangle $. Substituindo a expressão que encontramos:
lang<= m| xp + px |n rang<=
Vamos analisar cada termo separadamente.

Passo 8

Vamos calcular cada um dos termos separadamente:
  1. $ \langle m| \hat{a}^2 |n \rangle $: Este termo envolve a ação de dois operadores de aniquilação, que reduzem o número de quanta em 2. Isso só será diferente de zero se $ m = n - 2 $.
  2. $ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger |n \rangle $: Ação de dois operadores de criação, aumentando o número de quanta em 2. Só será diferente de zero se $ m = n + 2 $.
  3. $ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a} |n \rangle $: Este termo conta o número de quanta. É não nulo se $ m = n $.
  4. $ \langle m| 1 |n \rangle $: Este é o produto escalar dos estados $ |m\rangle $ e $ |n\rangle $, que é zero a menos que $ m = n $.

Passo 9

Considerando as condições acima, a expressão geral para $ \langle m| \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x} |n \rangle $ será:
lang<= m| xp + px |n rang<=
onde $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, que é 1 se $ m = n $ e 0 caso contrário.

Resposta

A matriz $ \langle m| \hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x} |n \rangle $ é dada por:
lang<= m| x p + p x |n rang<=
Onde:
  • $ \langle m| \hat{a}^2 |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n - 2 $.
  • $ \langle m| (\hat{a}\dagger)2 |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n + 2 $.
  • $ \langle m| \hat{a}^\dagger \hat{a} |n \rangle $ é não nulo somente se $ m = n $.
  • $ \delta_{m,n} $ é o delta de Kronecker, igual a 1 se $ m = n $ e 0 caso contrário.
Portanto, o valor final depende das relações entre $ m $ e $ n $ conforme descrito.

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