Considere um oscilador subamortecido. Mostre que a taxa de dissipação de energia,
, é
onde
é o fator da força resistiva
. Use o resultado para
no movimento subamortecido e mostre que a taxa
oscila e decresce com o tempo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num oscilador harmônico subamortecido com força resistente
, a taxa de variação da energia total
é
Depois, usando a solução subamortecida
devemos mostrar que
oscila e decresce ao longo do tempo.
Passo 2
Começamos diferenciando
em função do tempo. Como
temos
Passo 3
Pela equação de movimento do oscilador amortecido
segue
Logo
como queríamos demonstrar.
Passo 4
Para ver o comportamento em regime subamortecido, calculamos
. Da solução
vem
Assim
Portanto
Passo 5
Nesse resultado vemos que
tem o fator oscilatório
, que varia no tempo, multiplicado por
, que decresce exponencialmente. Logo a taxa de dissipação oscila (por causa do cosseno e seno) e seu envoltório decai como
.
Resposta
Mostramos que
e substituindo
do regime subamortecido obtemos uma expressão proporcional a
ou seja,
oscila e decresce com o tempo.