Considere um oscilador subamortecido. Mostre que a taxa de dissipação de energia, d Ed t, é
d Ed t=-b cdot dotx^2
onde b é o fator da força resistiva (f=-b cdot v). Use o resultado para dotx no movimento subamortecido e mostre que a taxa d E / d t oscila e decresce com o tempo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num oscilador harmônico subamortecido com força resistente f=-b,dot x, a taxa de variação da energia total
E = 12 m,dot x^2 + 12 k,x^2
é
dEdt = -b,dot x^2
Depois, usando a solução subamortecida
x(t) = X0,e^-gamma tcosl(omegad t + phir), gamma = b2m, omegad = raiz k m - gamma^2,
devemos mostrar que tfracdEdt oscila e decresce ao longo do tempo.

Passo 2

Começamos diferenciando E em função do tempo. Como
E(t)=tfrac12 m,dot x^2 + tfrac12 k,x^2,
temos
dEdt = m,dot x,ddot x + k,x,dot x = dot xl(m,ddot x + k,xr)

Passo 3

Pela equação de movimento do oscilador amortecido
m,ddot x + b,dot x + k,x = 0,
segue
m,ddot x + k,x = -b,dot x
Logo
dEdt = dot xl(-b,dot xr) = -b,dot x^2,
como queríamos demonstrar.

Passo 4

Para ver o comportamento em regime subamortecido, calculamos dot x(t). Da solução
x(t) = X0,e^-gamma tcostheta(t), theta(t) = omegad t + phi,
vem
dot x(t) = -gamma,X0,e^-gamma tcostheta(t) - omegad,X0,e^-gamma tsintheta(t) = -X0,e^-gamma tl[gammacostheta(t) + omegadsintheta(t)r]
Assim
dot x^2(t) = X0^2,e^-2gamma tl[gammacostheta(t) + omegadsintheta(t)r]^2
Portanto
dEdt = -b,X0^2,e^-2gamma tl[gammacos(omegad t + phi) + omegadsin(omegad t + phi)r]^2

Passo 5

Nesse resultado vemos que dEdt tem o fator oscilatório
l[gammacos(dots)+omegadsin(dots)r]^2, que varia no tempo, multiplicado por e^-2gamma t, que decresce exponencialmente. Logo a taxa de dissipação oscila (por causa do cosseno e seno) e seu envoltório decai como e^-2gamma t.

Resposta

Mostramos que
dEdt=-b,dot x^2,
e substituindo dot x(t) do regime subamortecido obtemos uma expressão proporcional a
e^-2gamma tl[gammacos(omegad t + phi) +omegadsin(omegad t + phi)r]^2,
ou seja, dEdt oscila e decresce com o tempo.

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