Uma escada de comprimento L=12 m e massa m=45 kg está encostada em um muro liso (sem atrito). A extremidade superior da escada está a uma altura h=9,3 m acima do piso no qual a escada está apoiada (existe atrito entre a escada e o piso). O centro de massa da escada está a uma distância L/3 da extremidade inferior. Um bombeiro, de massa M=72 kg, sobe na escada até que seu centro de massa esteja a uma distância L/2 da extremidade inferior.
a) Quais são, nesse instante, os módulos das forças exercidas pelo muro e pelo piso sobre a escada?
b) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso seja 0,53. A que distância (como porcentagem do comprimento total da escada - x/a) o bombeiro deve subir para que a escada esteja na iminência de escorregar?

Passo 1

Beleza, o exercício trata de uma escada de comprimento L=12,m e massa m=45,kg encostada num muro liso, apoiada num piso que tem atrito. A parte (a) quer saber as forças de reação do muro e do piso quando um bombeiro de massa M=72,kg subiu até o ponto em que o centro de massa dele está a L/2 da base. A parte (b) pede até que fração do comprimento da escada (em %) o bombeiro pode subir antes dela quase escorregar, considerando coeficiente de atrito estático mus=0,53.
Conteúdo: equilíbrio estático de corpos rígidos. Vamos usar:
  1. sum vec F=0 (forças em x e y)
  2. sum tau=0 (torques em torno de um ponto)
  3. trigonometria básica pra achar ângulo e alavancas

Passo 2

Resolvendo (a):
  1. Ângulo da escada com o piso
sintheta=hL=9,312approx0,775Longrightarrowthetaapprox50,8^circ
costheta=raiz1-sin^2thetaapproxraiz1-0,775^2approx0,632
  1. Equilíbrio de forças no piso e no muro
    • Eixo x (horizontal): atrito f para a direita menos reação do muro Frm muro para a esquerda dá zero
f - Frm muro=0;Longrightarrow;f=Frm muro
  • Eixo y (vertical): normal N para cima menos pesos para baixo dá zero
N - m g - M g = 0;Longrightarrow;N=(m+M),g
  1. Equilíbrio de torques em torno da base (apoio no piso)
    • Só geram torque:
      • peso da escada ( m g) em L/3
      • peso do bombeiro ( M g) em L/2
      • reação do muro ( Frm muro) em altura h
    • Braço de alavanca dos pesos é a projeção horizontal: dcostheta
    • Equação de torques (tomando sentido horário positivo):
(m gcdottfracL3 + M gcdottfracL2)costheta ;=;Frm muro,cdot h
  • Logo
Frm muro = l(mtfracL3+MtfracL2r),g,costhetah
Substituindo números:
mL3=45cdot4=180, ML2=72cdot6=432, 180+432=612
Frm muro =612cdot9,8cdot0,6329,3approx408 N
• Então f=408,N
• E N=(45+72)cdot9,8approx1147,N
  1. Força total do piso (resultante das componentes N e f)
Rrm piso =raizN^2 + f^2 =raiz1147^2 + 408^2 approx1220 N

Passo 3

Resolvendo (b): iminência de escorregar significa
fmax=mus,Ne f=Frm muro
Mantemos o equilíbrio de torques em torno da base, mas agora o bombeiro está em x:
fmax,h =l(mgcdottfracL3+Mgcdot xr)costheta
Substituindo fmax=musN=mus(m+M)g e cancelando g:
mus,(m+M),h =l(mtfracL3+M,xr)costheta
Isolando x:
x = mus,(m+M),hcostheta;-;mL3M
Plugando valores:
mus,(m+M),hcostheta =0,53cdot117cdot9,30,632approx914,8
914,8 - 180 =734,8 Longrightarrow x=734,872approx10,2 m
Como fração do comprimento:
xL=10,212approx0,85;Rightarrow;85%

Resposta

(a) Força do muro Frm muroapprox4,08times10^2,N e força resultante do piso Rrm pisoapprox1,22times10^3,N.
(b) O bombeiro deve subir até cerca de 85% do comprimento da escada.

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