De volta à Física I: Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante v0 e a uma altitude h, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo t. (b) A que distância antes do barco (medida horizontalmente) o piloto deve largar o pacote se este deve acertar o barco? Qual é essa distância se v0=50 m / s, h=100 m e g=9,81 m / s^2 ? (c) Dentro de que intervalo de tempo ( pm De<a t ) o piloto deve largar o pacote se este deve atingir o solo a aproximadamente pm 10 m do barco?

Passo 1

Beleza, vamos ao resumo. A gente tem um avião voando reto e nivelado com velocidade horizontal constante v0 e altura h. O piloto quer largar um pacote pra cair bem em cima de um barco. A matéria envolvida é cinemática no plano (sem resistência do ar) e a segunda lei de Newton. Vamos precisar:
  1. Escrever F=ma nas direções x e y.
  2. Integrar pra achar velocidade e posição em função do tempo.
  3. Usar essas posições pra responder (a), (b) e (c).

Passo 2

(a) Segunda lei de Newton e equações do movimento
  • Em x: não há força horizontal, então
Fx=0;Longrightarrow;m,ax=0;Longrightarrow;ax=0
  • Em y: só pesa o pacote, então
Fy=-mg;Longrightarrow;m,ay=-mg;Longrightarrow;ay=-g
Agora integramos pra achar velocidade e posição (tomando t=0 no instante do lançamento, x(0)=0, y(0)=h e vy(0)=0):
vx(t)=v0, vy(t)=-g,t,
x(t)=integral vx,dt = v0,t, y(t)=h+integral vy,dt = h - tfrac12,g,t^2

Passo 3

(b) Distância horizontal antes do barco
Pra acertar o barco a gente precisa que o pacote chegue no nível do mar, ou seja y(trm queda)=0. Então
h - tfrac12 g,trm queda^2 = 0 ;Longrightarrow; trm queda=raiz2hg
Aí a distância horizontal é
d = x(trm queda) = v0,trm queda = v0,raiz2hg
Substituindo v0=50 m/s, h=100 m, g=9,81 m/s^2:
trm queda=raiz2cdot1009,81approx4,52 s, d=50cdot4,52approx226 m

Passo 4

(c) Janela de tempo para errar no máximo pm10 m
A gente quer que, no instante de largar, o pacote percorra dpm10 m até chegar no barco. Como x(t)=v0,t, um desvio de pm10 m equivale a um desvio de tempo
De<a t = 10v0
Com v0=50 m/s
De<a t = 1050 = 0,20 s
Ou seja, se o instante “ideal” é trm quedaapprox4,52 s antes de chegar na vertical do barco, o piloto pode soltar entre
4,52 - 0,20 = 4,32 s e 4,52 + 0,20 = 4,72 s
antes de sobrevoar o barco e ainda ficar dentro de pm10 m.

Resposta

(a)
x(t)=v0,t, y(t)=h-tfrac12,g,t^2
(b) d = v0raiz2h/gapprox226 m
(c) Janela de tempo De<a t=10/v0=0,20 s (±0,20 s em torno de tapprox4,52 s).

Exercícios relacionados