Considere P e P, bases de um Espaço Vetorial B1. Encontre a matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio em B2, de para .

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas que leva as coordenadas de um polinômio expressas na base B1=x,x^2,x^3 para as coordenadas desse mesmo polinômio na base B2=x-3x^3,;2x^2+x^3,;x-x^2. O conteúdo aqui é mudança de base em espaços de polinômios e vamos precisar expressar cada vetor de B1 como combinação linear dos vetores de B2.

Passo 2

Para encontrar a matriz de mudança de base P tal que [v]B2=P,[v]B1, lembramos que as colunas de P são as coordenadas dos vetores de B1 (isto é, x,,x^2,,x^3) escritas na base B2. Em outras palavras, para cada biin B1 resolvemos bi=alphai,(x-3x^3)+betai,(2x^2+x^3)+gammai,(x-x^2).

Passo 3

Para b1=x escrevemos
x=alpha,(x-3x^3)+beta,(2x^2+x^3)+gamma,(x-x^2) = (alpha+gamma)x + (2beta-gamma)x^2 +(-3alpha+beta)x^3
Igualando coeficientes temos o sistema
alpha+gamma=1 2beta-gamma=0 -3alpha+beta=0
Da terceira equação beta=3alpha, da segunda gamma=2beta=6alpha e daí 7alpha=1, logo alpha=1/7,;beta=3/7,;gamma=6/7. Estes valores formam a primeira coluna de P.

Passo 4

Para b2=x^2 fazemos o mesmo:
x^2=(alpha+gamma)x + (2beta-gamma)x^2 +(-3alpha+beta)x^3
Impõe-se
alpha+gamma=0 2beta-gamma=1 -3alpha+beta=0
Que dá beta=3alpha, gamma=-alpha e 7alpha=1, logo alpha=1/7,;beta=3/7,;gamma=-1/7. Esses são os coeficientes para a segunda coluna de P.

Passo 5

Para b3=x^3 igualamos de novo:
x^3=(alpha+gamma)x + (2beta-gamma)x^2 +(-3alpha+beta)x^3
Com o sistema
alpha+gamma=0 2beta-gamma=0 -3alpha+beta=1
Daí gamma=-alpha, alpha=-2beta e 7beta=1, de onde alpha=-2/7,;beta=1/7,;gamma=2/7. Estes formam a terceira coluna de P.

Passo 6

Agora montamos a matriz de mudança de coordenadas P cujas colunas são os vetores (alpha,beta,gamma) que acabamos de encontrar para x,,x^2,,x^3.

Resposta

P= tfrac17 & tfrac17 & -tfrac27 tfrac37 & tfrac37 & tfrac17 tfrac67 & -tfrac17 & tfrac27

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