Seja
uma matriz complexa tal que
para algum inteiro
. Prove que
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz: seja A uma matriz complexa tal que
. Queremos provar que A é diagonalizável. O conteúdo envolve polinômios mínimos e o critério de diagonalização sobre
.
Passo 2
Como
, A anula o polinômio
. Ou seja,
.
Passo 3
Em
, o polinômio
se fatoriza completamente em raízes simples, pois suas raízes são as
-ésimas unidades
para
, todas distintas. Assim:
Passo 4
O polinômio mínimo
de A divide
. Como
não tem raízes repetidas,
também não tem fatores múltiplos.
Passo 5
Pelo teorema de diagonalização, uma matriz em
é diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos. Concluímos que A é diagonalizável.
Resposta
Como o polinômio mínimo de A divide
, que se decompõe em raízes simples, o polinômio mínimo também não tem raízes repetidas. Logo, A é diagonalizável.