Seja A uma matriz complexa tal que A^k=I para algum inteiro k. Prove que A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz: seja A uma matriz complexa tal que A^k = I. Queremos provar que A é diagonalizável. O conteúdo envolve polinômios mínimos e o critério de diagonalização sobre C.

Passo 2

Como A^k = I, A anula o polinômio p(x) = x^k - 1. Ou seja, p(A) = A^k - I = 0.

Passo 3

Em C[x], o polinômio p(x)=x^k-1 se fatoriza completamente em raízes simples, pois suas raízes são as k-ésimas unidades omegaj = e^2pi i j/k para j=0,1,dots,k-1, todas distintas. Assim:
p(x)=prodj=0^k-1(x-omegaj)

Passo 4

O polinômio mínimo m(x) de A divide p(x). Como p(x) não tem raízes repetidas, m(x) também não tem fatores múltiplos.

Passo 5

Pelo teorema de diagonalização, uma matriz em C é diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos. Concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

Como o polinômio mínimo de A divide x^k-1, que se decompõe em raízes simples, o polinômio mínimo também não tem raízes repetidas. Logo, A é diagonalizável.

Exercícios relacionados