Seja T in L(V).
a Mostre que T: V V é um operador linear não injetor se e somente se 0 é um autovalor de T.
b Mostre que T é inversível se e somente se o termo independente de seu polinômio minimal é não-nulo.
c Nestas circunstâncias, T^-1 é um polinômio em T, i.e., existe p(x) in P(K) tal que T^-1= p(T).

Passo 1

Vamos mostrar três aspectos do operador linear T em V: relação entre injetividade e autovalor zero, ligação entre invertibilidade e termo independente do polinômio minimal, e existência de um polinômio que representa T^{-1}. Para isso vamos precisar dos conceitos de núcleo e imagem de T, definição de autovalor, e das propriedades do polinômio minimal m_T(x) de T, em particular que m_T(T)=0.

Passo 2

Definição e prova de (a): T não é injetor ⇔ ker(T)≠{0}. Por definição, 0 é autovalor se existe v≠0 tal que T(v)=0, ou seja, v∈ker(T) distinto de zero. Assim
T não injetor;Long<=ftrightarrow;ker(T)neq0;Long<=ftrightarrow;exists vneq0: T(v)=0;Long<=ftrightarrow;0 é autovalor de Tãé

Passo 3

Prova de (b): Seja m_T(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_k x^k o polinômio minimal de T, com a_k≠0. Sabemos que m_T(T)=0, ou seja
a0I + a1T + cdots + akT^k = 0

Passo 4

Se a_0=0, então
T(a1I + a2T + cdots + akT^k-1)=0,
mostrando que T não é inversível (pois tem núcleo não trivial). Reciprocamente, se T não é inversível, 0 é autovalor, logo x divide m_T(x) e a_0= m_T(0)=0. Portanto T é inversível ⇔ a_0≠0.

Passo 5

Prova de ©: Quando a_0≠0, da relação
a0I + a1T + cdots + akT^k = 0
podemos isolar I:
I = -1a0(a1T + a2T^2 + cdots + akT^k)

Passo 6

Multiplicando à direita por T^{-1}, obtemos
T^-1 = -1a0(a1I + a2T + cdots + akT^k-1),

Passo 7

mostrando que T^{-1} é de fato um polinômio em T.

Passo 8

Concluímos os três itens solicitados.

Resposta

(a) T não injetor se e somente se 0 é autovalor de T. (b) T é inversível se e somente se o termo independente a_0 do seu polinômio minimal m_T(x) é não nulo. © Nesse caso, existe p(x) em P( K) tal que T^-1=p(T).

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