Seja
.
a Mostre que
é um operador linear não injetor se e somente se 0 é um autovalor de
.
b Mostre que
é inversível se e somente se o termo independente de seu polinômio minimal é não-nulo.
c Nestas circunstâncias,
é um polinômio em
, i.e., existe
tal que
.
a Mostre que
b Mostre que
c Nestas circunstâncias,
Passo 1
Vamos mostrar três aspectos do operador linear T em V: relação entre injetividade e autovalor zero, ligação entre invertibilidade e termo independente do polinômio minimal, e existência de um polinômio que representa T^{-1}. Para isso vamos precisar dos conceitos de núcleo e imagem de T, definição de autovalor, e das propriedades do polinômio minimal m_T(x) de T, em particular que m_T(T)=0.
Passo 2
Definição e prova de (a): T não é injetor ⇔ ker(T)≠{0}. Por definição, 0 é autovalor se existe v≠0 tal que T(v)=0, ou seja, v∈ker(T) distinto de zero. Assim
Passo 3
Prova de (b): Seja m_T(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_k x^k o polinômio minimal de T, com a_k≠0. Sabemos que m_T(T)=0, ou seja
Passo 4
Se a_0=0, então
mostrando que T não é inversível (pois tem núcleo não trivial). Reciprocamente, se T não é inversível, 0 é autovalor, logo x divide m_T(x) e a_0= m_T(0)=0. Portanto T é inversível ⇔ a_0≠0.
Passo 5
Prova de ©: Quando a_0≠0, da relação
podemos isolar I:
Passo 6
Multiplicando à direita por T^{-1}, obtemos
Passo 7
mostrando que T^{-1} é de fato um polinômio em T.
Passo 8
Concluímos os três itens solicitados.
Resposta
(a) T não injetor se e somente se 0 é autovalor de T. (b) T é inversível se e somente se o termo independente a_0 do seu polinômio minimal m_T(x) é não nulo. © Nesse caso, existe p(x) em
tal que
.