Prove que uma matriz n times n sobre C que satisfaz A^3=A pode ser diagonalizada.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n sobre C tal que A^3 = A. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular polinômios de matriz e diagonalização. Vamos usar a teoria de polinômio mínimo e o critério de diagonalização por fatoração em raízes simples.

Passo 2

Seja f(t)=t^3 - t. A condição A^3 = A é equivalente a f(A)=0. Isso significa que o polinômio mínimo mA(t) de A divide f(t).

Passo 3

Observamos que em C[t] temos a fatoração em raízes distintas:
f(t)=t^3 - t = t,(t-1),(t+1)

Passo 4

Como t, t-1 e t+1 são fatores lineares distintos, todo divisor de f(t) também se escreve como produto de fatores lineares sem repetição.
O critério de diagonalização diz que uma matriz A é diagonalizável se, e só se, seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos.

Passo 5

Portanto, como mA(t) divide t(t-1)(t+1) e este já está em fatores lineares distintos, concluímos que mA(t) não tem raízes repetidas e, assim, A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A satisfaz A^3=A, logo seu polinômio mínimo divide t(t-1)(t+1), que se fatora em raízes distintas. Pelo critério do polinômio mínimo, A é diagonalizável.

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