Prove que uma matriz
sobre
que satisfaz
pode ser diagonalizada.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
sobre
tal que
. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular polinômios de matriz e diagonalização. Vamos usar a teoria de polinômio mínimo e o critério de diagonalização por fatoração em raízes simples.
Passo 2
Seja
. A condição
é equivalente a
. Isso significa que o polinômio mínimo
de
divide
.
Passo 3
Observamos que em
temos a fatoração em raízes distintas:
Passo 4
Como
,
e
são fatores lineares distintos, todo divisor de
também se escreve como produto de fatores lineares sem repetição.
O critério de diagonalização diz que uma matriz é diagonalizável se, e só se, seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos.
O critério de diagonalização diz que uma matriz
Passo 5
Portanto, como
divide
e este já está em fatores lineares distintos, concluímos que
não tem raízes repetidas e, assim,
é diagonalizável.
Resposta
A matriz
satisfaz
, logo seu polinômio mínimo divide
, que se fatora em raízes distintas. Pelo critério do polinômio mínimo,
é diagonalizável.