Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:
O conjunto dos polinômios de grau
cujos gráficos "passam por
"; com as operações usuais.
O conjunto dos polinômios de grau
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com as operações usuais de adição e multiplicação escalar, forma um espaço vetorial sobre
. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar em soma e em multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, noto que o polinômio zero
pertence a
pois
. Isso garante que o vetor zero do espaço
está em
.
Passo 3
Agora verifico fechamento em soma: sejam
. Então
e
. Pela definição de soma de polinômios,
Logo
. Em seguida, verifico fechamento em multiplicação escalar: seja
e
. Então
Logo
. Com isso,
é subespaço de
e, portanto, é espaço vetorial.
Passo 4
Para exibir uma base, observo que todo
pode ser escrito como
O número de vetores dessa base é 3, portanto a dimensão de
é 3.
Resposta
Sim, é um espaço vetorial sobre
. Uma base é
e
.