Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:
O conjunto dos polinômios de grau <= 3 cujos gráficos "passam por (0,0) "; com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V=pin R[x]:deg(p)<=3 e p(0)=0, com as operações usuais de adição e multiplicação escalar, forma um espaço vetorial sobre R. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar em soma e em multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, noto que o polinômio zero 0(x)=0 pertence a V pois 0(0)=0. Isso garante que o vetor zero do espaço R[x] está em V.

Passo 3

Agora verifico fechamento em soma: sejam p,qin V. Então p(0)=0 e q(0)=0. Pela definição de soma de polinômios,
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0
Logo p+qin V. Em seguida, verifico fechamento em multiplicação escalar: seja alphain R e pin V. Então
(alpha p)(0)=alphacdot p(0)=alphacdot 0=0
Logo alpha pin V. Com isso, V é subespaço de R[x] e, portanto, é espaço vetorial.

Passo 4

Para exibir uma base, observo que todo pin V pode ser escrito como
p(x)=ax+bx^2+cx^3, pois o termo constante é zero. Uma base natural é
O número de vetores dessa base é 3, portanto a dimensão de x,,x^2,,x^3 é 3.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial sobre R. Uma base é x,,x^2,,x^3 e dim(V)=3.

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