Considere P(R) o conjunto de todos os polinômios na indeterminada x e coeficientes em R.
(a) Mostre, com a soma usual de polinômios e o produto por escalar, que P(R) é um espaço vetorial sobre R.
(b) Seja Pn(R) o conjunto dos polinômios de grau menos ou igual a n. Mostre que Pn(R) é subespaço vetorial de P(R) para todo n >= 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que P(R), o conjunto de todos os polinômios em x com coeficientes reais, é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos usar a definição de espaço vetorial: verificar que, com a soma usual de polinômios e o produto por escalar real, satisfazemos fechamento, existência de elemento neutro, inverso aditivo, comutatividade e associatividade da soma, e as propriedades de distributividade, unidade e associatividade do escalar. Em seguida, definir Pn(R)=pinP(R)mid deg p<= n e mostrar que ele é subespaço de P(R), ou seja, não vazio e fechado sob soma e escalar.

Passo 2

Definimos para quaisquer p,qinP(R) e alphainR:
(p+q)(x)=p(x)+q(x), (alpha p)(x)=alphal(p(x)r)
Como soma e multiplicação de reais fecham em R, segue imediatamente que p+q e alpha p são polinômios, garantindo o fechamento das operações.

Passo 3

Agora verificamos os axiomas principais em P(R):
  1. Comutatividade: p+q=q+p pois em cada coeficiente ak+bk=bk+ak.
  2. Associatividade da soma: (p+q)+r=p+(q+r) por associatividade em R.
  3. Neutro aditivo: o polinômio zero 0(x)=0 satisfaz p+0=p.
  4. Inverso aditivo: para cada p o polinômio -p dado por (-p)(x)=-p(x) satisfaz p+(-p)=0.
  5. Distributividade escalar sobre soma de polinômios: alpha(p+q)=alpha p+alpha q.
  6. Distributividade escalar sobre soma de escalares: (alpha+beta)p=alpha p+beta p.
  7. Associatividade do produto escalar: (alphabeta)p=alpha(beta p).
  8. Neutro escalar: 1cdot p=p.
    Todas seguem diretamente das propriedades algébricas de R aplicadas coeficiente a coeficiente.

Passo 4

Definimos Pn(R)=pinP(R)mid deg p<= n. Para ver que é subespaço de P(R) basta notar:
– Não vazio: o polinômio zero tem grau -infty<= n, logo 0inPn(R).
– Fechamento na soma: se deg p<= n e deg q<= n então deg(p+q)<=max(deg p,deg q)<= n.
– Fechamento na multiplicação por escalar: para alphainR tem deg(alpha p)=deg p<= n (ou é o zero).
Portanto Pn(R) herda as operações e é subespaço vetorial de P(R).

Resposta

(a) P(R) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.
(b) Para todo n>=0, Pn(R) é subespaço de P(R).

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