Considere
o conjunto de todos os polinômios na indeterminada
e coeficientes em
.
(a) Mostre, com a soma usual de polinômios e o produto por escalar, que
é um espaço vetorial sobre
.
(b) Seja
o conjunto dos polinômios de grau menos ou igual a
. Mostre que
é subespaço vetorial de
para todo
.
(a) Mostre, com a soma usual de polinômios e o produto por escalar, que
(b) Seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que
, o conjunto de todos os polinômios em
com coeficientes reais, é um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos usar a definição de espaço vetorial: verificar que, com a soma usual de polinômios e o produto por escalar real, satisfazemos fechamento, existência de elemento neutro, inverso aditivo, comutatividade e associatividade da soma, e as propriedades de distributividade, unidade e associatividade do escalar. Em seguida, definir
e mostrar que ele é subespaço de
, ou seja, não vazio e fechado sob soma e escalar.
Passo 2
Definimos para quaisquer
e
:
Como soma e multiplicação de reais fecham em
, segue imediatamente que
e
são polinômios, garantindo o fechamento das operações.
Passo 3
Agora verificamos os axiomas principais em
:
- Comutatividade:
pois em cada coeficiente . - Associatividade da soma:
por associatividade em . - Neutro aditivo: o polinômio zero
satisfaz . - Inverso aditivo: para cada
o polinômio dado por satisfaz . - Distributividade escalar sobre soma de polinômios:
. - Distributividade escalar sobre soma de escalares:
. - Associatividade do produto escalar:
. - Neutro escalar:
.
Todas seguem diretamente das propriedades algébricas deaplicadas coeficiente a coeficiente.
Passo 4
Definimos
. Para ver que é subespaço de
basta notar:
– Não vazio: o polinômio zero tem grau , logo
.
– Fechamento na soma: se e
então
.
– Fechamento na multiplicação por escalar: para tem
(ou é o zero).
Portanto herda as operações e é subespaço vetorial de
.
– Não vazio: o polinômio zero tem grau
– Fechamento na soma: se
– Fechamento na multiplicação por escalar: para
Portanto
Resposta
(a)
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
(b) Para todo ,
é subespaço de
.
(b) Para todo