Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(a, b). Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u oplus v=(3 x+3 a, 5 y+5 b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está no campo da álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. A gente precisa analisar se, ao modificar a maneira de somar vetores em R^2, os axiomas de espaço vetorial ainda são válidos ou se algum é quebrado. Aqui, a soma foi alterada para u oplus v = (3x + 3a, 5y + 5b), mantendo a multiplicação por escalar do jeito tradicional. Vamos verificar passo a passo quais regras continuam funcionando e quais não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um espaço vetorial precisa cumprir alguns axiomas para ser considerado tal. Esses axiomas são regras que definem como os vetores se comportam em relação à soma e à multiplicação por escalar. Vamos checar cada um deles com a nossa nova definição de soma.

Passo 3

Axioma da Comutatividade da Soma:
Este axioma diz que u + v = v + u. Vamos ver se isso vale com a nossa oplus.
Se u = (x, y) e v = (a, b), então:
u oplus v = (3x + 3a, 5y + 5b)
v oplus u = (3a + 3x, 5b + 5y)
Vemos que u oplus v = v oplus u porque a ordem não muda os resultados. Então, esse axioma continua válido.

Passo 4

Axioma da Associatividade da Soma:
Esse diz que (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w). Vamos testar com três vetores u = (x, y), v = (a, b) e w = (c, d).
Calculando u oplus v:
u oplus v = (3x + 3a, 5y + 5b)
Agora, (u oplus v) oplus w:
(3x + 3a, 5y + 5b) oplus (c, d) = (3(3x + 3a) + 3c, 5(5y + 5b) + 5d) = (9x + 9a + 3c, 25y + 25b + 5d)
Por outro lado, calculando v oplus w:
v oplus w = (3a + 3c, 5b + 5d)
E então, u oplus (v oplus w):
(x, y) oplus (3a + 3c, 5b + 5d) = (3x + 3(3a + 3c), 5y + 5(5b + 5d)) = (3x + 9a + 9c, 5y + 25b + 25d)
Claramente, (9x + 9a + 3c, 25y + 25b + 5d) neq (3x + 9a + 9c, 5y + 25b + 25d), a não ser que c = 0 e y = 0, o que não é geral.
Então, a associatividade não é válida com essa nova soma.

Passo 5

Axioma do Elemento Neutro da Soma:
Existiria algum vetor 0 = (e, f) tal que, para qualquer vetor u = (x, y):
u oplus 0 = u
Vamos tentar encontrar e e f:
u oplus 0 = (3x + 3e, 5y + 5f) = (x, y)
Isso dá as equações:
3x + 3e = x Rightarrow 3e = -2x
5y + 5f = y Rightarrow 5f = -4y
Para que essas igualdades sejam verdadeiras para todo x e y, teríamos que e e f dependerem de x e y, o que não é possível. Portanto, não existe um elemento neutro para essa soma.

Passo 6

Axioma do Inverso Aditivo:
Este diz que para cada vetor u = (x, y), existe um vetor -u = (p, q) tal que:
u oplus (-u) = 0
Já vimos que não há um elemento neutro 0, então não há como definir -u que funcione para todos os u. Logo, não há inverso aditivo nessa estrutura.

Passo 7

Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Este axioma afirma que alpha (u oplus v) = alpha u oplus alpha v. Vamos verificar.
alpha (u oplus v) = alpha (3x + 3a, 5y + 5b) = (alpha(3x + 3a), alpha(5y + 5b)) = (3alpha x + 3alpha a, 5alpha y + 5alpha b)
alpha u oplus alpha v = (3alpha x + 3alpha a, 5alpha y + 5alpha b)
Os dois lados são iguais, então esse axioma continua válido.

Passo 8

Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
Diz que (alpha + beta)u = alpha u oplus beta u.
Vamos testar:
(alpha + beta)u = ( (alpha + beta)x, (alpha + beta)y )
alpha u oplus beta u = (3alpha x + 3beta x, 5alpha y + 5beta y) = 3(alpha + beta)x, 5(alpha + beta)y
Para que sejam iguais, precisaríamos que:
(alpha + beta)x = 3(alpha + beta)x e (alpha + beta)y = 5(alpha + beta)y
Isso só acontece se alpha + beta = 0 ou x = y = 0, o que não é geral. Portanto, esse axioma não é válido.

Passo 9

Axioma da Multiplicação por Escalar Associativa:
Esse diz que alpha (beta u) = (alpha beta) u.
Vamos ver:
alpha (beta u) = alpha (beta x, beta y) = (3alpha beta x, 5alpha beta y)
(alpha beta) u = (3alpha beta x, 5alpha beta y)
Os dois lados são iguais, então esse axioma continua válido.

Passo 10

Axioma da Multiplicação por Escalar Unitária:
Diz que 1 cdot u = u.
Vamos testar:
1 cdot u = (3 cdot 1 cdot x, 5 cdot 1 cdot y) = (3x, 5y)
Para ser igual a u = (x, y), precisaríamos que 3x = x e 5y = y, o que só ocorre se x = y = 0. Portanto, esse axioma não é válido.

Resposta

Com a soma modificada u oplus v = (3x + 3a, 5y + 5b) em R^2, os seguintes axiomas de espaço vetorial permanecem válidos:
  1. Comutatividade da Soma
  2. Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores
  3. Multiplicação por Escalar Associativa
Já os axiomas que são violados são:
  1. Associatividade da Soma
  2. Elemento Neutro da Soma
  3. Inverso Aditivo
  4. Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares
  5. Multiplicação por Escalar Unitária
Isso significa que com essa definição de soma, R^2 não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

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