Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está no campo da álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. A gente precisa analisar se, ao modificar a maneira de somar vetores em
, os axiomas de espaço vetorial ainda são válidos ou se algum é quebrado. Aqui, a soma foi alterada para
, mantendo a multiplicação por escalar do jeito tradicional. Vamos verificar passo a passo quais regras continuam funcionando e quais não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um espaço vetorial precisa cumprir alguns axiomas para ser considerado tal. Esses axiomas são regras que definem como os vetores se comportam em relação à soma e à multiplicação por escalar. Vamos checar cada um deles com a nossa nova definição de soma.
Passo 3
Axioma da Comutatividade da Soma:
Este axioma diz que
. Vamos ver se isso vale com a nossa
.
Se
e
, então:
Vemos que
porque a ordem não muda os resultados. Então, esse axioma continua válido.
Passo 4
Axioma da Associatividade da Soma:
Esse diz que
. Vamos testar com três vetores
,
e
.
Calculando
:
Agora,
:
Por outro lado, calculando
:
E então,
:
Claramente,
, a não ser que
e
, o que não é geral.
Então, a associatividade não é válida com essa nova soma.
Passo 5
Axioma do Elemento Neutro da Soma:
Existiria algum vetor
tal que, para qualquer vetor
:
Vamos tentar encontrar
e
:
Isso dá as equações:
Para que essas igualdades sejam verdadeiras para todo
e
, teríamos que
e
dependerem de
e
, o que não é possível. Portanto, não existe um elemento neutro para essa soma.
Passo 6
Axioma do Inverso Aditivo:
Este diz que para cada vetor
, existe um vetor
tal que:
Já vimos que não há um elemento neutro
, então não há como definir
que funcione para todos os
. Logo, não há inverso aditivo nessa estrutura.
Passo 7
Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Este axioma afirma que
. Vamos verificar.
Os dois lados são iguais, então esse axioma continua válido.
Passo 8
Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
Diz que
.
Vamos testar:
Para que sejam iguais, precisaríamos que:
Isso só acontece se
ou
, o que não é geral. Portanto, esse axioma não é válido.
Passo 9
Axioma da Multiplicação por Escalar Associativa:
Esse diz que
.
Vamos ver:
Os dois lados são iguais, então esse axioma continua válido.
Passo 10
Axioma da Multiplicação por Escalar Unitária:
Diz que
.
Vamos testar:
Para ser igual a
, precisaríamos que
e
, o que só ocorre se
. Portanto, esse axioma não é válido.
Resposta
Com a soma modificada
em
, os seguintes axiomas de espaço vetorial permanecem válidos:
- Comutatividade da Soma
- Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores
- Multiplicação por Escalar Associativa
Já os axiomas que são violados são:
- Associatividade da Soma
- Elemento Neutro da Soma
- Inverso Aditivo
- Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares
- Multiplicação por Escalar Unitária
Isso significa que com essa definição de soma,
não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.