Mostre que
é primo se e somente se o ideal
é maximal.
Passo 1
Neste problema estamos no anel
e consideramos o ideal
. O objetivo é mostrar que
é primo se e somente se
é maximal. Para isso vamos usar duas ideias importantes:
1. Um ideal de um anel
é maximal se e somente se o quociente
é corpo.
2. Um elemento em
é primo se e somente se o anel
é domínio de integridade.
1. Um ideal
2. Um elemento
Passo 2
Suponha que
seja primo. Então, toda classe
em
satisfaz
. Pelos coeficientes de Bézout existem
tais que
Passando a módulo
obtemos
, ou seja,
é inverso de
. Assim todo elemento não nulo de
é invertível, logo
é corpo. Pelo critério de maximalidade de ideais,
é maximal.
Passo 3
Agora suponha que
seja maximal. Então
é corpo e, em particular, é domínio de integridade. Se
não fosse primo, haveria
com
, isto é,
com
e
, contrariando a ausência de divisores de zero. Logo
deve ser primo.
Resposta
Concluímos que
é primo se e somente se o ideal
é maximal.