Mostre que p é primo se e somente se o ideal J=p Z é maximal.

Passo 1

Neste problema estamos no anel Z e consideramos o ideal J = pZ. O objetivo é mostrar que p é primo se e somente se J é maximal. Para isso vamos usar duas ideias importantes:
1. Um ideal I de um anel A é maximal se e somente se o quociente A/I é corpo.
2. Um elemento p em Z é primo se e somente se o anel Z/pZ é domínio de integridade.

Passo 2

Suponha que p seja primo. Então, toda classe [a]neq[0] em Z/pZ satisfaz gcd(a,p)=1. Pelos coeficientes de Bézout existem x,yinZ tais que
a,x + p,y = 1
Passando a módulo p obtemos [a],[x]=[1], ou seja, [x] é inverso de [a]. Assim todo elemento não nulo de Z/pZ é invertível, logo Z/pZ é corpo. Pelo critério de maximalidade de ideais, J=pZ é maximal.

Passo 3

Agora suponha que J=pZ seja maximal. Então Z/pZ é corpo e, em particular, é domínio de integridade. Se p não fosse primo, haveria a,bnotequiv0pmod p com abequiv0pmod p, isto é, [a][b]=[0] com [a]neq[0] e [b]neq[0], contrariando a ausência de divisores de zero. Logo p deve ser primo.

Resposta

Concluímos que p é primo se e somente se o ideal pZ é maximal.

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