Verifique que os seguintes vetores são LI ou LD. e em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores , e em são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar o conteúdo de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores sejam linearmente independentes. Os vetores são LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se satisfazermos:
E a única solução para é , então os vetores são LI. Se existir outra solução, eles são LD.
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Observamos que as duas últimas equações são iguais, então na verdade temos duas equações:
c1 - c2 = 0 c2 + c3 = 0
Da primeira equação, temos c1 = c2 . Da segunda, c3 = -c2 . Vamos substituir c1 e c3 em termos de c2 :
c1 = c2 c3 = -c2
Isso significa que, para qualquer valor de c2 , a equação será satisfeita. Então, temos uma infinidade de soluções onde os coeficientes não são todos zero.
Resposta
Os vetores (1,0,0) , (-1,1,1) e (0,1,1) em R^3 são Linearmente Dependentes.