Verifique que os seguintes vetores são LI ou LD.
(1,0,0),(-1,1,1) e (0,1,1) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores v1 = (1,0,0) , v2 = (-1,1,1) e v3 = (0,1,1) em R^3 são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar o conteúdo de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores sejam linearmente independentes. Os vetores são LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero 0 é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se satisfazermos:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
E a única solução para c1, c2, c3 é c1 = c2 = c3 = 0 , então os vetores são LI. Se existir outra solução, eles são LD.

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
c1 (1,0,0) + c2 (-1,1,1) + c3 (0,1,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 - c2 + 0c3 = 0 0c1 + c2 + c3 = 0 0c1 + c2 + c3 = 0

Passo 4

Observamos que as duas últimas equações são iguais, então na verdade temos duas equações:
c1 - c2 = 0 c2 + c3 = 0
Da primeira equação, temos c1 = c2 . Da segunda, c3 = -c2 . Vamos substituir c1 e c3 em termos de c2 :
c1 = c2 c3 = -c2
Isso significa que, para qualquer valor de c2 , a equação será satisfeita. Então, temos uma infinidade de soluções onde os coeficientes não são todos zero.

Resposta

Os vetores (1,0,0) , (-1,1,1) e (0,1,1) em R^3 são Linearmente Dependentes.

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