Seja
.
(a) Mostre que
é base de
.
(b) Escreva as coordenadas de
com relação a base
.
(a) Mostre que
(b) Escreva as coordenadas de
Passo 1
O espaço
tem dimensão
, com base canônica, por exemplo,
. A questão pede, em (a), para mostrar que
é base de ; e em (b), escrever as coordenadas de
é base de
no referencial
.
Passo 2
Para que
seja base de
, é preciso que seus quatro vetores sejam linearmente independentes (ou que gerem todo
), pois
. Vamos testar a independência linear: suponha que existam escalares
tais que
como polinômio nulo. Escrevendo coeficiente a coeficiente em relação à base canônica
, obtemos:
— coeficiente de
:
— coeficiente de
:
— coeficiente de
:
— coeficiente de
:
Essas são apenas três equações para quatro incógnitas, logo o sistema admite infinitas soluções não triviais. Em particular, a única forma de forçar
e
nulos faz com que reste liberdade em
.
Passo 3
Como não somos capazes de forçar
como única solução, concluímos que
é linearmente dependente. Alternativamente, observa-se que nenhum dos vetores de
tem termo em
, então não é possível gerar polinômios com coeficiente não-nulo em
.
Portanto não gera todo
e tampouco é linearmente independente. Concluímos que
não é uma base de
.
Portanto
Passo 4
Em consequência, o polinômio
não pode ser expresso como combinação linear única dos vetores de
, pois não há componente em
em nenhum gerador de
.
Resposta
(a)
não é base de
(é linearmente dependente e não gera o termo
).
(b) Não existem coordenadas de em
, pois
não pertence ao subespaço gerado por
.
(b) Não existem coordenadas de