Seja V=P3(R)=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 mid ai in R.
(a) Mostre que B=1,2+x, 3 x-x^3, x-x^3 é base de V.
(b) Escreva as coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 com relação a base B.

Passo 1

O espaço V= P3( R) tem dimensão 4, com base canônica, por exemplo, 1,x,x^2,x^3. A questão pede, em (a), para mostrar que
B=,1,;2+x,;3x - x^3,;x - x^3
é base de V; e em (b), escrever as coordenadas de
p(x)=1+x+x^2+x^3
no referencial B.

Passo 2

Para que B seja base de V, é preciso que seus quatro vetores sejam linearmente independentes (ou que gerem todo V), pois dim V=4. Vamos testar a independência linear: suponha que existam escalares c1,c2,c3,c4 tais que
c1cdot1 ;+; c2,(2+x);+;c3,(3x - x^3);+;c4,(x - x^3);=;0
como polinômio nulo. Escrevendo coeficiente a coeficiente em relação à base canônica 1,x,x^2,x^3, obtemos:
— coeficiente de 1:
c1 ;+;2,c2 ;=;0
— coeficiente de x:
c2 ;+;3,c3;+;c4 ;=;0
— coeficiente de x^2:
0 ;=;0(pois nenhum dos >=radores tem termo em x^2)
— coeficiente de x^3:
-,c3 ;-;c4 ;=;0
Essas são apenas três equações para quatro incógnitas, logo o sistema admite infinitas soluções não triviais. Em particular, a única forma de forçar c3 e c4 nulos faz com que reste liberdade em c1,c2.

Passo 3

Como não somos capazes de forçar c1=c2=c3=c4=0 como única solução, concluímos que B é linearmente dependente. Alternativamente, observa-se que nenhum dos vetores de B tem termo em x^2, então não é possível gerar polinômios com coeficiente não-nulo em x^2.
Portanto B não gera todo V e tampouco é linearmente independente. Concluímos que B não é uma base de V.

Passo 4

Em consequência, o polinômio p(x)=1+x+x^2+x^3 não pode ser expresso como combinação linear única dos vetores de B, pois não há componente em x^2 em nenhum gerador de B.

Resposta

(a) B não é base de V (é linearmente dependente e não gera o termo x^2).
(b) Não existem coordenadas de p(x) em B, pois p não pertence ao subespaço gerado por B.

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