Considere o P.V.I.
Esse P.V.I.tem solução única?
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente verificar se o Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
com
tem solução única. Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber se a solução é única ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função da equação diferencial:
. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz as condições necessárias para que o teorema garanta uma solução única para o P.V.I. dado.
Passo 3
O Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que se a função
for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a
em uma vizinhança do ponto inicial
, então o P.V.I. tem uma solução única. Vamos verificar essas condições.
Passo 4
Primeiro, verificamos a continuidade de
. Como
está bem definida para
e no ponto inicial
, a função
é contínua nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada é contínua perto de
, já que
não se anula e
é contínuo. Portanto, a condição de Lipschitz é satisfeita.
Resposta
Sim, o P.V.I. dado possui solução única, que é
.