Considere o P.V.I.
d yd x=x y^1 / 2, y(2)=1
Esse P.V.I.tem solução única?

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente verificar se o Problema de Valor Inicial (P.V.I.) dydx = x y^1/2 com y(2) = 1 tem solução única. Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber se a solução é única ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função da equação diferencial: f(x, y) = x y^1/2. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz as condições necessárias para que o teorema garanta uma solução única para o P.V.I. dado.

Passo 3

O Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que se a função f(x, y) for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a y em uma vizinhança do ponto inicial (2, 1), então o P.V.I. tem uma solução única. Vamos verificar essas condições.

Passo 4

Primeiro, verificamos a continuidade de f(x, y) = x y^1/2. Como y^1/2 está bem definida para y >= 0 e no ponto inicial y = 1, a função f é contínua nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a y. Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = x2 y^1/2
Essa derivada é contínua perto de y = 1, já que y^1/2 não se anula e x é contínuo. Portanto, a condição de Lipschitz é satisfeita.

Resposta

Sim, o P.V.I. dado possui solução única, que é y(x) = x^416.

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