Encontre a(s) região(ões) do plano
onde o P.V.I.
tem solução única. Explique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema onde temos uma equação diferencial e queremos saber em quais regiões do plano
essa equação tem uma solução única. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias e o teorema de existência e unicidade de soluções. Para resolver, vamos precisar analisar os coeficientes da equação e verificar onde eles são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para aplicar o teorema de existência e unicidade, é útil reescrever essa equação na forma padrão. Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que vamos analisar.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para que o termo com
tenha coeficiente 1. Fazemos isso dividindo toda a equação por
:
Simplificando, já que
:
Agora, temos a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 4
O próximo passo é verificar onde os coeficientes
,
e
são contínuos. Isso é importante porque o teorema de existência e unicidade garante uma solução única se esses coeficientes forem contínuos no intervalo considerado.
Vamos analisar cada um:
-
: A função é contínua para todo , e também é contínuo. Portanto, é contínuo em todo . -
: A função é contínua, mas o denominador introduz pontos onde a função pode não estar definida. Especificamente, quando . Então, não é contínuo em e . -
: Já sabemos que é contínua para todo .
Passo 5
Com base na análise dos coeficientes, vemos que a única restrição para a continuidade é em
e
. Além disso, precisamos considerar onde
está definida, já que
. A função
é zero em
, onde
é um inteiro, o que faz
não estar definida nesses pontos.
Portanto, para que a equação diferencial tenha uma solução única, devemos evitar esses valores de
. Assim, as regiões onde a solução é única são aquelas onde
e
para qualquer inteiro
.
Resposta
A equação diferencial tem solução única nas regiões do plano
onde
não é igual a
e
não coincide com
para qualquer inteiro
. Em outras palavras, existe uma solução única para todos os valores de
tais que: