Encontre a(s) região(ões) do plano xy onde o P.V.I.
y^prime prime sec (x)+x y^prime+1x^2-1 y=1, y(x0)=y0
tem solução única. Explique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema onde temos uma equação diferencial e queremos saber em quais regiões do plano xy essa equação tem uma solução única. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias e o teorema de existência e unicidade de soluções. Para resolver, vamos precisar analisar os coeficientes da equação e verificar onde eles são contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
y'' sec(x) + x y' + 1x^2-1 y = 1, y(x0) = y0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para aplicar o teorema de existência e unicidade, é útil reescrever essa equação na forma padrão. Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que vamos analisar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para que o termo com y'' tenha coeficiente 1. Fazemos isso dividindo toda a equação por sec(x) :
y'' + xsec(x) y' + 1(x^2-1)sec(x) y = 1sec(x)
Simplificando, já que 1sec(x) = cos(x) :
y'' + x cos(x) y' + cos(x)x^2-1 y = cos(x)
Agora, temos a equação na forma padrão:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = R(x)
Onde:
  • P(x) = x cos(x)
  • Q(x) = cos(x)x^2-1
  • R(x) = cos(x)

Passo 4

O próximo passo é verificar onde os coeficientes , e são contínuos. Isso é importante porque o teorema de existência e unicidade garante uma solução única se esses coeficientes forem contínuos no intervalo considerado.
Vamos analisar cada um:
  1. : A função é contínua para todo , e também é contínuo. Portanto, é contínuo em todo .
  2. : A função é contínua, mas o denominador introduz pontos onde a função pode não estar definida. Especificamente, quando . Então, não é contínuo em e .
  3. : Já sabemos que é contínua para todo .

Passo 5

Com base na análise dos coeficientes, vemos que a única restrição para a continuidade é em x = 1 e x = -1 . Além disso, precisamos considerar onde sec(x) está definida, já que sec(x) = 1cos(x) . A função cos(x) é zero em x = (2k+1)pi2 , onde k é um inteiro, o que faz sec(x) não estar definida nesses pontos.
Portanto, para que a equação diferencial tenha uma solução única, devemos evitar esses valores de x . Assim, as regiões onde a solução é única são aquelas onde x neq pm1 e x neq (2k+1)pi2 para qualquer inteiro k .

Resposta

A equação diferencial tem solução única nas regiões do plano xy onde x não é igual a pm1 e x não coincide com (2k+1)pi2 para qualquer inteiro k . Em outras palavras, existe uma solução única para todos os valores de x tais que:
x neq pm1 e x neq (2k+1)pi2, para todo k in Z

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