Dado o P.V.I.
Estabeleça o maior intervalo de definição para a solução da letra anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a maior faixa de valores de
onde a solução da equação diferencial
com a condição inicial
existe. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais separáveis e entender um pouquinho sobre intervalos de definição das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação é separável, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Então, reescrevemos a equação assim:
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Para achar
, usamos a condição inicial
:
Portanto, a solução geral da equação é:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o maior intervalo de
onde a função
está bem definida. Sabemos que a tangente tem assíntotas verticais onde o cosseno é zero, ou seja, em
Como a condição inicial é
, o maior intervalo em torno desse ponto onde a tangente não “explode” para infinito é:
Dentro desse intervalo, a função
está bem definida e não possui assíntotas.
Resposta
O maior intervalo de definição para a solução é
.