Dado o P.V.I.
y^prime=1+y^2, y(0)=0
Estabeleça o maior intervalo de definição para a solução da letra anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a maior faixa de valores de x onde a solução da equação diferencial y' = 1 + y^2 com a condição inicial y(0) = 0 existe. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais separáveis e entender um pouquinho sobre intervalos de definição das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial y' = 1 + y^2 . Essa equação é separável, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .
Então, reescrevemos a equação assim:
dydx = 1 + y^2
Vamos separar as variáveis:
dy1 + y^2 = dx
Agora, integramos ambos os lados:
integral dy1 + y^2 = integral dx
A integral do lado esquerdo é arctan(y) e do lado direito é x + C , onde C é a constante de integração.
arctan(y) = x + C
Para achar C , usamos a condição inicial y(0) = 0 :
arctan(0) = 0 + C Rightarrow C = 0
Portanto, a solução geral da equação é:
arctan(y) = x
Resolvendo para y :
y = tan(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o maior intervalo de x onde a função y = tan(x) está bem definida. Sabemos que a tangente tem assíntotas verticais onde o cosseno é zero, ou seja, em x = pmpi2, pm3pi2, dots
Como a condição inicial é x = 0 , o maior intervalo em torno desse ponto onde a tangente não “explode” para infinito é:
( -pi2, pi2 )
Dentro desse intervalo, a função tan(x) está bem definida e não possui assíntotas.

Resposta

O maior intervalo de definição para a solução é ( -dfracpi2, dfracpi2 ) .

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