são soluções do P.V.I.acima. Isso quer dizer que o P.V.I.não tem solução única? Por que isso não contradiz o Teorema de Picard?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
d yd x = x y^1 / 2, y(2) = 1
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais ordinárias e condições iniciais. Para resolver, vamos precisar verificar se as funções dadas satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função y(x) = x^416 é uma solução do P.V.I. Para isso, precisamos calcular a derivada de y em relação a x e ver se ela bate com a equação dada.
Calculando a derivada:
d yd x = 4x^316 = x^34
Agora, substituímos y(x) na equação diferencial:
x y^1/2 = x ( x^416 )^1/2 = x cdot x^24 = x^34
Vemos que:
d yd x = x y^1/2
Portanto, y(x) = x^416 satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa função atende à condição inicial y(2) = 1 .
Substituindo x = 2 na função:
y(2) = 2^416 = 1616 = 1
Está correto! Então, y(x) = x^416 é uma solução do P.V.I.
Passo 4
Vamos agora verificar a função [\widetilde{y}(x)), definida por:
Primeiro, calculamos a derivada de , já sabemos que a derivada é , como fizemos anteriormente.
Para :
Agora, verificamos a equação diferencial para ambas as partes.
Para :
Para :
Portanto, também satisfaz a equação diferencial em todo o domínio.
Passo 5
Verificamos que ambas as funções y(x) = x^416 e widetildey(x) satisfazem a equação diferencial e a condição inicial. Isso significa que o P.V.I. tem mais de uma solução, ou seja, não é única.
Resposta
Sim, o P.V.I. possui múltiplas soluções, mas isso não contraria o Teorema de Picard porque as condições de unicidade do teorema (como a continuidade e a Lipschitzianidade da função em relação a y ) não são totalmente atendidas neste caso.