Dado o P.V.I.
O P.V.I.acima tem solução única? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (P.V.I.) que diz:
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias. A gente precisa descobrir se essa equação tem uma solução única, ou seja, se existe somente uma função
que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para garantir que uma equação diferencial tenha uma solução única, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se a função que está na equação diferencial é contínua e satisfaz uma condição de Lipschitz em uma região ao redor do ponto inicial, então a solução existe e é única nesse intervalo.
Passo 3
No nosso caso, a função
é a parte que multiplica
. Vamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz.
-
Continuidade: A função
é um polinômio, que é sempre contínuo para todo valor de . Então, está tranquilo nesse ponto. -
Condição de Lipschitz: Para verificar se
satisfaz a condição de Lipschitz, vamos olhar para a derivada em relação a :
Essa derivada existe e é contínua para todo
. Uma função com derivada contínua satisfaz a condição de Lipschitz em qualquer intervalo fechado e limitado.
Passo 4
Como a função
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em torno de
, podemos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf. Isso garante que existe uma única solução para o nosso P.V.I. em um intervalo que inclui
.
Passo 5
Além disso, se quisermos encontrar a solução explícita, podemos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a solução é:
Essa solução é única no intervalo onde a tangente está definida, ou seja, para
em
.
Resposta
Sim, o P.V.I. dado possui uma solução única, que é
, válida para
em
.