Dado o P.V.I.
y^prime=1+y^2, y(0)=0
O P.V.I.acima tem solução única? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (P.V.I.) que diz:
y^prime=1+y^2, y(0)=0
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias. A gente precisa descobrir se essa equação tem uma solução única, ou seja, se existe somente uma função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para garantir que uma equação diferencial tenha uma solução única, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se a função que está na equação diferencial é contínua e satisfaz uma condição de Lipschitz em uma região ao redor do ponto inicial, então a solução existe e é única nesse intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função f(y) = 1 + y^2 é a parte que multiplica y' . Vamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz.
  • Continuidade: A função f(y) = 1 + y^2 é um polinômio, que é sempre contínuo para todo valor de y . Então, está tranquilo nesse ponto.
  • Condição de Lipschitz: Para verificar se f(y) satisfaz a condição de Lipschitz, vamos olhar para a derivada em relação a y :
f^prime(y) = ddy(1 + y^2) = 2y
Essa derivada existe e é contínua para todo y . Uma função com derivada contínua satisfaz a condição de Lipschitz em qualquer intervalo fechado e limitado.

Passo 4

Como a função f(y) = 1 + y^2 é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em torno de y(0) = 0 , podemos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf. Isso garante que existe uma única solução para o nosso P.V.I. em um intervalo que inclui t = 0 .

Passo 5

Além disso, se quisermos encontrar a solução explícita, podemos resolver a equação diferencial:
dydt = 1 + y^2
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis:
dy1 + y^2 = dt
Integrando ambos os lados:
arctan(y) = t + C
Aplicando a condição inicial y(0) = 0 :
arctan(0) = 0 + C Rightarrow C = 0
Então, a solução é:
y(t) = tan(t)
Essa solução é única no intervalo onde a tangente está definida, ou seja, para t em (-pi2, pi2) .

Resposta

Sim, o P.V.I. dado possui uma solução única, que é y(t) = tan(t) , válida para t em (-pi2, pi2) .

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