Determine o comportamento, quando t infty, de todas as soluções da equação
d yd t+a y=0, a in R

Passo 1

O enunciado pede o comportamento, quando ttoinfty, de todas as soluções da equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante
dydt + a,y = 0,
onde ainR. Para isso, vamos (1) resolver a equação geral e (2) discutir o limite da solução com base no sinal de a.

Passo 2

Para resolver
dydt + a,y = 0
podemos separar variáveis. Escrevendo
dydt = -a,y
temos
1y,dy = -a,dt
Integrando ambos os lados,
lnl|yr| = -a,t + K,
onde K é constante de integração. Exponenciando, obtemos a solução geral
y(t) = C,e^-a t,
com C = pm e^K sendo uma constante real determinada pela condição inicial.

Passo 3

Analisamos o limite limttoinftyy(t) = limttoinftyC,e^-a t em três casos:
  1. Se a>0, então -a<0 e
e^-a tto 0(ttoinfty),
logo y(t)to 0.
  1. Se a=0, a solução fica y(t)=C constante, então
limttoinftyy(t)=C
  1. Se a<0, escrevendo a=-|a| temos -a = |a|>0, de modo que
e^-a t = e^|a|ttoinfty(ttoinfty)
Assim lvert y(t)rverttoinfty, ou seja, y(t) diverge em módulo (vai a +infty se C>0 e a -infty se C<0).

Resposta

Para a>0: todas as soluções satisfazem limttoinftyy(t)=0.
Para a=0: y(t)=C é constante, logo limttoinftyy(t)=C.
Para a<0: lvert y(t)rverttoinfty, ou seja, as soluções divergem exponencialmente.

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