Verifique se o ponto P=(7,0,5) pertence à reta com equação vetorial:
\vec{r}(t)=(1,2,-1)+t(3,-1,4) .

Passo 1

O enunciado pergunta se o ponto P=(7,0,5) pertence à reta dada por
\vec{r}(t) = (1,2,-1) + t\,(3,-1,4).
O conteúdo é verificação de pertença de ponto a uma reta paramétrica, o que exige resolver um sistema para encontrar um parâmetro t tal que \vec{r}(t)=P.

Passo 2

Para ter \vec{r}(t)=P, precisamos que as componentes satisfaçam simultaneamente:
1 + 3t = 7,
2 - t = 0,
-1 + 4t = 5.

Passo 3

Da primeira equação:
1 + 3t = 7 \implies 3t = 6 \implies t = 2.
Usando t=2 na segunda:
2 - 2 = 0,
o que está certo. Agora, na terceira:
-1 + 4\cdot 2 = -1 + 8 = 7,
mas precisamos de 5. Há contradição, pois 7 \neq 5.

Passo 4

Como não existe valor de t que satisfaça todas as três igualdades, concluímos que P não está na reta.

Resposta

O ponto P=(7,0,5) não pertence à reta dada por \vec{r}(t)=(1,2,-1)+t(3,-1,4).

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