Considere a parábola de equação cartesiana y=2 x^2+4 x-1.
(a) Determine o foco da parábola;
(b) Em qual(quais) valor(valores) a diretriz corta o eixo x?

Passo 1

O enunciado dá a parábola de equação
y = 2x^2 + 4x - 1
e pede (a) o foco e (b) os valores de x em que a diretriz corta o eixo x.
Como a parábola é vertical, vamos completar o quadrado para escrevê-la na forma padrão
,(x-h)^2=4p,(y-k),
achar o vértice (h,k), o parâmetro p, depois o foco e a diretriz, e por fim ver se esta linha horizontal intersecta y=0.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
y = 2l(x^2+2xr)-1 =2l((x+1)^2-1r)-1 =2(x+1)^2-2-1 =2(x+1)^2-3
Reescrevendo,
y+3 = 2,(x+1)^2 Longrightarrow (x+1)^2 = tfrac12,(y+3)

Passo 3

Na forma (x-h)^2=4p,(y-k) temos
h=-1, k=-3, 4p=tfrac12;Longrightarrow;p=tfrac18
Como a parábola abre para cima, o foco fica em
l(h,;k+pr) =l(-1,;-3+tfrac18r) =l(-1,;-tfrac238r),
e a diretriz é a reta
y = k - p = -3 - tfrac18 = -tfrac258

Passo 4

Para ver onde a diretriz y=-tfrac258 cruza o eixo x (onde y=0), resolveríamos
0 = -tfrac258,
o que não tem solução. Portanto a diretriz não corta o eixo x.

Resposta

(a) O foco é l(-1,-tfrac238r).
(b) A diretriz é y=-tfrac258 e não intersecta o eixo x.

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