Considere a parábola de equação y=x^2. Encontre valores de x0 tais que a reta tangente em x0 passe pelo ponto dado.
(0,-5)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x0 tais que a reta tangente à parábola y = x^2 no ponto l(x0,x0^2r) passe pelo ponto (0,-5). Para isso, vamos usar cálculo diferencial: primeiro encontramos a derivada para obter o coeficiente angular da tangente, depois determinamos a equação da reta e, por fim, exigimos que ela passe por (0,-5).

Passo 2

A derivada de y = x^2 é
f'(x) = 2x
No ponto x=x0, o coeficiente angular da tangente é
m = f'(x0) = 2x0
A equação da reta tangente em l(x0,x0^2r) vem de
y - x0^2 = m,(x - x0),
ou seja,
y - x0^2 = 2x0,(x - x0) Longrightarrow y = 2x0,x - 2x0^2 + x0^2 Longrightarrow y = 2x0,x - x0^2

Passo 3

Para que essa reta passe pelo ponto (0,-5), basta substituir x=0 e y=-5 na equação:
-5 = 2x0cdot 0 - x0^2 Longrightarrow -5 = -,x0^2 Longrightarrow x0^2 = 5

Passo 4

Da igualdade x0^2=5 seguem-se os dois valores possíveis:
x0 = raiz5 ou x0 = -raiz5

Resposta

x0 = raiz5 ou x0 = -raiz5

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