Encontre valores para os parâmetros em cada item para que a função

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 6 - (x-2)^2, & x<3, a x + b, & x>=3,
e pede valores de a e b para que f seja (i) contínua e (ii) derivável em x=3. Vamos usar as condições de continuidade e de derivabilidade em pontos de quebra.

Passo 2

Para f ser contínua em x=3, o limite pela esquerda deve coincidir com o valor pela direita em x=3. Calculamos
limxto3^-f(x)=6 - (3-2)^2=6-1=5,
e exigimos
f(3)=acdot3 + b=3a + b
Logo a condição de continuidade é
3a + b = 5

Passo 3

Interpretando a equação 3a + b =5, obtemos a relação entre a e b para garantir continuidade:
b = 5 - 3a

Passo 4

Para
A derivada à esquerda em . Portanto a condição de derivabilidade é

Passo 5

Substituindo a=-2 na relação de continuidade b=5-3a, vem
b = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11

Resposta

(i) f é contínua em x=3 sempre que
b = 5 - 3a
(ii) f é derivável em x=3 se, além disso,
a = -2 e b = 11

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