Considere a parábola de equação y=x^2. Encontre valores de x0 tais que a reta tangente em x0 passe pelo ponto dado.
(20,20)

Passo 1

O enunciado dá a parábola de equação y=x^2 e pede todos os pontos de tangência x0 tais que a reta tangente em x0 passe pelo ponto (20,20). Para isso vamos usar derivada para achar o coeficiente angular da tangente e escrever sua equação geral.

Passo 2

A derivada de f(x)=x^2 é
f'(x)=2x
Em x=x0 o coeficiente angular da reta tangente é m=2x0.

Passo 3

A equação da reta tangente em x0 é
y = f'(x0),(x - x0) + f(x0)
que fica
y = 2x0,(x - x0) + x0^2 Longrightarrow y = 2x0,x - x0^2

Passo 4

Impondo que essa reta passe por (20,20), substituímos x=20, y=20:
20 = 2x0cdot 20 - x0^2 Longrightarrow 20 = 40x0 - x0^2 Longrightarrow x0^2 - 40x0 + 20 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática x0^2 - 40x0 + 20 = 0 pelo discriminante:
De<a = (-40)^2 - 4cdot 1cdot 20 = 1600 - 80 = 1520 = 16cdot 95,
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x0 = 40 pm raiz15202 = 40 pm 4raiz952 = 20 pm 2raiz95

Resposta

Os valores de x0 são
x0 = 20 + 2raiz95 e x0 = 20 - 2raiz95

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