Questão 1: (1,0 Ponto) Encontre a área da região limitada pelas equações x=y^2 e y=x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas x = y^2 e y = x - 2 . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área entre as duas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais são os pontos em que x = y^2 e y = x - 2 se encontram. Para isso, vamos substituir x da segunda equação na primeira.
Temos:
x = y^2
y = x - 2 implies x = y + 2
Substituindo na primeira equação:
y + 2 = y^2
Rearranjando:
y^2 - y - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, y = 2 ou y = -1 .

Passo 3

Agora que sabemos os valores de y onde as curvas se interceptam ( y = -1 e y = 2 ), vamos encontrar os valores correspondentes de x .
Para y = -1 :
x = (-1)^2 = 1
Então, o ponto é (1, -1) .
Para y = 2 :
x = 2^2 = 4
Então, o ponto é (4, 2) .

Passo 4

Vamos agora determinar qual das duas curvas está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração. Observando as equações:
x = y + 2 e x = y^2
Para um dado y entre -1 e 2, x = y + 2 está à direita de x = y^2 .

Passo 5

Com essas informações, podemos montar a integral que calcula a área entre as curvas. A área A é dada por:
A = integraly=-1^y=2 ( (y + 2) - y^2 ) dy

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
A = integral-1^2 (y + 2 - y^2) , dy
Integrando termo a termo:
A = [ 12y^2 + 2y - 13y^3 ]-1^2
Calculando nos limites:
Para y = 2 :
12(2)^2 + 2(2) - 13(2)^3 = 2 + 4 - 83 = 6 - 83 = 103
Para y = -1 :
12(-1)^2 + 2(-1) - 13(-1)^3 = 12 - 2 + 13 = -32 + 13 = -76

Passo 7

Subtraindo os resultados:
A = 103 - (-76) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região limitada pelas equações x = y^2 e y = x - 2 é 92 unidades de área.

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