Questão 1: (1,0 Ponto) Encontre a área da região limitada pelas equações
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área entre as duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais são os pontos em que
e
se encontram. Para isso, vamos substituir
da segunda equação na primeira.
Temos:
Substituindo na primeira equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 3
Agora que sabemos os valores de
onde as curvas se interceptam (
e
), vamos encontrar os valores correspondentes de
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Vamos agora determinar qual das duas curvas está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração. Observando as equações:
Para um dado
entre -1 e 2,
está à direita de
.
Passo 5
Com essas informações, podemos montar a integral que calcula a área entre as curvas. A área
é dada por:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 7
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas equações
e
é
unidades de área.