Considere a parábola de equação x^2-2 x+4 y-10=0. Obtenha o vértice, o foco e a equação da reta diretriz. Escreva uma parametrização da parábola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa parábola! O enunciado nos dá a equação x^2 - 2x + 4y - 10 = 0 . A matéria que vamos usar aqui é a de Parábolas, especificamente para encontrar o vértice, o foco, a reta diretriz e uma parametrização da parábola. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reescrever a equação na forma padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos isolar os termos que contêm x de um lado:
x^2 - 2x = -4y + 10

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x . Para isso, pegamos o coeficiente de x , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
( -22 )^2 = 1
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
x^2 - 2x + 1 - 1 = -4y + 10
(x - 1)^2 - 1 = -4y + 10

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
(x - 1)^2 = -4y + 11
Agora, isolamos y :
(x - 1)^2 = -4(y - 114)

Passo 5

A equação está na forma padrão da parábola:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando com a nossa equação:
  • h = 1
  • k = 114
  • 4p = -4 então p = -1

Passo 6

Agora que temos os valores de h , k e p , podemos encontrar o vértice, o foco e a reta diretriz.
  • Vértice: (h, k) = (1, 114)
  • Foco: (h, k + p) = (1, 114 - 1) = (1, 74)
  • Reta diretriz: y = k - p = 114 - (-1) = 154

Passo 7

Para a parametrização da parábola, usamos parâmetros que expressam x e y em função de um terceiro parâmetro, geralmente t .
Dada a forma (x - h)^2 = 4p(y - k) , podemos expressar:
x = h + 2raizp(t)
y = k + pt^2
Substituindo os valores que temos:
x = 1 + 2raiz-1 cdot t
y = 114 - t^2
No entanto, como p = -1 , a parametrização fica:
x = 1 + 2t
y = 114 - t^2

Resposta

  • Vértice: (1, 114)
  • Foco: (1, 74)
  • Reta diretriz: y = 154
  • Parametrização:
x = 1 + 2t y = 114 - t^2

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