Considere a parábola de equação
. Obtenha o vértice, o foco e a equação da reta diretriz. Escreva uma parametrização da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa parábola! O enunciado nos dá a equação
. A matéria que vamos usar aqui é a de Parábolas, especificamente para encontrar o vértice, o foco, a reta diretriz e uma parametrização da parábola. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reescrever a equação na forma padrão da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos isolar os termos que contêm
de um lado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
A equação está na forma padrão da parábola:
Comparando com a nossa equação:
-
-
-
então
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos encontrar o vértice, o foco e a reta diretriz.
- Vértice:
- Foco:
- Reta diretriz:
Passo 7
Para a parametrização da parábola, usamos parâmetros que expressam
e
em função de um terceiro parâmetro, geralmente
.
Dada a forma
, podemos expressar:
Substituindo os valores que temos:
No entanto, como
, a parametrização fica:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Reta diretriz:
- Parametrização: