Exercício 6 Seja W o subespaço de M(3,2) gerado por [ll0 & 0 1 & 1 0 & 0], [cc0 & 1 0 & -1 1 & 0] e [ll0 & 1 0 & 0 0 & 0] o vetor [ll0 & 2 3 & 4 5 & 0] pertence a W ?

Passo 1

O enunciado define W como o subespaço de M(3,2) gerado pelas matrizes
A=0&01&10&0, B=0&10&-11&0, C=0&10&00&0
e pergunta se a matriz
D=0&23&45&0
pertence a W. Para isso, vamos ver se existe combinação linear
xA + yB + zC = D

Passo 2

Escrevendo a combinação
xA + yB + zC = 0 & 0 x & x 0 & 0 + 0 & y 0 & -y y & 0 + 0 & z 0 & 0 0 & 0 = 0 & y+z x & x-y y & 0 ,
e esta deve ser igual a
D=0&23&45&0

Passo 3

Igualando entradas correspondentes, obtemos o sistema
y + z = 2, x = 3, x - y = 4, y = 5

Passo 4

Da segunda equação vem x=3. Da terceira, 3 - y = 4 implica y=-1. Mas da quarta temos y=5. Isso é uma contradição, logo não existe solução (x,y,z) para satisfazer todas as igualdades.

Resposta

O vetor 0&23&45&0 não pertence a W.

Exercícios relacionados