Exercício 2 Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço de .
Conteúdo: critério de subespaço em espaços vetoriais reais. Vamos verificar que (i) o vetor zero está em , (ii)
é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
é um subespaço de
Conteúdo: critério de subespaço em espaços vetoriais reais. Vamos verificar que (i) o vetor zero está em
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
. De fato,
e
Logo
.
Passo 3
Fechamento em relação à soma.
Sejam e
em
. Então
Sejam
Para
temos
e
Portanto
.
Passo 4
Fechamento em relação a escalar.
Seja e
. Como
e
, para
temos
Seja
e
Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.