Exercício 2 Mostre que os seguintes subconjuntos de mathbbR^4 são subespaços.
b) U=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x+y-t=0 e z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
U = (x,y,z,t)inR^4 mid 2x + y - t = 0 e z = 0
é um subespaço de R^4.
Conteúdo: critério de subespaço em espaços vetoriais reais. Vamos verificar que (i) o vetor zero está em U, (ii) U é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a U. De fato,
2cdot 0 + 0 - 0 = 0
e
z = 0
Logo (0,0,0,0)in U.

Passo 3

Fechamento em relação à soma.
Sejam u=(x1,y1,z1,t1) e v=(x2,y2,z2,t2) em U. Então
2x1 + y1 - t1 = 0, z1 = 0,
2x2 + y2 - t2 = 0, z2 = 0
Para u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2) temos
2(x1+x2)+(y1+y2)-(t1+t2) = (2x1+y1-t1)+(2x2+y2-t2) = 0+0=0
e
z1+z2 = 0+0 = 0
Portanto u + vin U.

Passo 4

Fechamento em relação a escalar.
Seja u=(x,y,z,t)in U e lambdainR. Como 2x+y-t=0 e z=0, para lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z,lambda t) temos
2(lambda x)+(lambda y)-(lambda t) = lambda(2x+y-t) = lambdacdot 0 =0
e
lambda z = lambdacdot 0 = 0
Logo lambdauin U.

Resposta

Como U contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que U é um subespaço de R^4.

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