Obtenha a equação e esboce a parábola no R^2 sendo dados:
Vértice V=(1,1) e diretriz d: x+y=0.

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo vértice é V=(1,1) e cuja diretriz é a reta
d: x+y=0
Usaremos a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) que estão à mesma distância do foco F e da diretriz d. Sabemos que o vértice fica no ponto médio entre foco e diretriz.

Passo 2

Para encontrar o foco, refletimos o vértice V=(1,1) em relação à diretriz x+y=0. Nessa reta, A=1, B=1, C=0, e
A xV + B yV + C = 1cdot1 + 1cdot1 + 0 = 2
A reflexão de (xV,yV) é
l(xV',yV'r) = l( xV - 2AA xV + B yV + CA^2+B^2, ;yV - 2BA xV + B yV + CA^2+B^2 r)
Como A^2+B^2=2, obtemos
F = l(1 - 2cdot1cdottfrac22,;1 - 2cdot1cdottfrac22r) =(-1,-1)

Passo 3

A condição dist(P,F)=dist(P,d)
raiz(x+1)^2+(y+1)^2 ;=; |x+y|raiz2
Elevando ao quadrado e multiplicando por 2:
2l((x+1)^2+(y+1)^2r) = (x+y)^2
Expandindo:
2(x^2+2x+1+y^2+2y+1) = x^2+2xy+y^2
2x^2+2y^2+4x+4y+4 = x^2+2xy+y^2
x^2 - 2xy + y^2 +4x+4y+4 = 0
Esse é o formato cartesiano da parábola.

Passo 4

Para esboçar:
  • A diretriz é a reta x+y=0, isto é, uma diagonal que passa pela origem com declive -1.
  • O foco F=(-1,-1) está do lado oposto da diretriz em relação ao vértice V=(1,1).
  • O eixo da parábola é perpendicular à diretriz, logo tem inclinação 1 e passa por V; é a reta y-1 = (x-1).
  • A parábola abre em direção ao foco, ou seja, no sentido do vetor (-1,-1) a partir de (1,1).

Resposta

Equação da parábola:
x^2 - 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0
Esboço: reta diretriz x+y=0; vértice (1,1); foco (-1,-1); eixo y=x; abertura em direção a (-1,-1).

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