Exercício 3 Seja V um espaço vetorial. Prove que
i) Existe um único vetor nulo em V, o qual denotaremos por 0V.
ii) Cada vetor u in V admite um único vetor simétrico f, ou seja, u oplus f=0V. Assim denotaremos o simétrico de u por -u.
iii) Para qualquer u, v, w in V, se u+w=v+w, então u=v.
iv) Para qualquer u, v in V, existe um único x in V tal que u+x=v.
v) Para qualquer lambda in R, tem-se que lambda odot 0V=0V.
vi) Para qualquer v in V, tem-se que 0 odot v=0V.
vii) (-1) odot v=-v.
viii) (-lambda)=lambda(-v)=-(lambda v)

Passo 1

O enunciado pede para provar várias propriedades em um espaço vetorial (V,oplus,odot): unicidade do vetor nulo e do inverso aditivo, cancelamento na soma, solução da equação uoplus x=v e propriedades envolvendo o vetor 0V e a multiplicação por escalares. Para isso vamos usar somente os axiomas de espaço vetorial: existência de elemento neutro e inverso em (V,oplus), associatividade, comutatividade, bem como as propriedades distributivas e de compatibilidade da multiplicação escalar.

Passo 2

Provar i) unicidade de 0V.
Suponha que e e e' sejam ambos vetores nulos, isto é, para todo vin V vale
voplus e = v e voplus e' = v
Em particular, tomando v=e na segunda, temos eoplus e' = e. Mas como e é neutro, eoplus e' = e'. Logo e'=e. Assim o neutro é único.

Passo 3

Provar ii) unicidade do inverso aditivo.
Para cada uin V existe por axioma algum f tal que uoplus f=0V. Suponha que também g satisfaça uoplus g=0V. Então
f = 0Voplus f = (uoplus g)oplus f = uoplus (goplus f) = uoplus (foplus g) = (uoplus f)oplus g = 0Voplus g = g
Logo o inverso é único, e o denotamos por -u.

Passo 4

Provar iii) cancelamento na soma.
Se u,w,vin V satisfazem uoplus w = voplus w, basta somar ambos os lados com o inverso de w para obter
(uoplus w)oplus(-w) = uoplus (woplus(-w)) = uoplus 0V = u,
e de modo análogo o lado direito vira v. Logo u=v.

Passo 5

Provar iv) existência e unicidade de solução de uoplus x=v.
Tomando x = (-u)oplus v temos
uoplus x = uoplusl((-u)oplus vr) = (uoplus(-u))oplus v = 0Voplus v = v,
mostrando existência. Para unicidade, se x e x' forem duas soluções, uoplus x = uoplus x' = v, então pelo cancelamento x=x'.

Passo 6

Provar v) lambdaodot 0V=0V.
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre soma em V temos
lambdaodot(0Voplus 0V) = lambdaodot 0Voplus lambdaodot 0V
Mas 0Voplus 0V=0V, então
lambdaodot 0V = lambdaodot 0Voplus lambdaodot 0V
Somando o inverso de lambdaodot 0V em ambos os lados, obtemos 0V=lambdaodot 0V.

Passo 7

Provar vi) 0odot v=0V.
Agora usamos a distributividade da soma de escalares:
(0+0)odot v = 0odot v oplus 0odot v
Como 0+0=0, o lado esquerdo é 0odot v, de onde
0odot v = 0odot v oplus 0odot v
e, concluindo como antes pelo inverso aditivo, segue 0odot v=0V.

Passo 8

Provar vii) (-1)odot v = -v.
Observe
voplusl((-1)odot vr) = (1+(-1))odot v = 0odot v = 0V
Assim (-1)odot v é o inverso aditivo de v, ou seja, (-1)odot v = -v.

Passo 9

Provar viii) ,(-lambda)odot v = lambdaodot(-v) = -l(lambdaodot vr).
Primeiro
(-lambda)odot v oplus lambdaodot v = l((-lambda)+lambdar)odot v = 0odot v = 0V,
logo (- lambda)odot v é inverso aditivo de lambdaodot v, ou seja (- lambda)odot v = -(lambdaodot v).
Em segundo lugar,
lambdaodot(-v)oplus lambdaodot v = lambdaodotl((-v)oplus vr) = lambdaodot 0V = 0V,
portanto lambdaodot(-v) também é inverso de lambdaodot v. Pela unicidade do inverso segue lambdaodot(-v)= -(lambdaodot v).

Resposta

Concluímos que todas as propriedades i)–viii) valem em qualquer espaço vetorial (V,oplus,odot).

Exercícios relacionados