Exercício 3 Seja
um espaço vetorial. Prove que
i) Existe um único vetor nulo em
, o qual denotaremos por
.
ii) Cada vetor
admite um único vetor simétrico
, ou seja,
. Assim denotaremos o simétrico de u por
.
iii) Para qualquer
, se
, então
.
iv) Para qualquer
, existe um único
tal que
.
v) Para qualquer
, tem-se que
.
vi) Para qualquer
, tem-se que
.
vii)
.
viii)
i) Existe um único vetor nulo em
ii) Cada vetor
iii) Para qualquer
iv) Para qualquer
v) Para qualquer
vi) Para qualquer
vii)
viii)
Passo 1
O enunciado pede para provar várias propriedades em um espaço vetorial
: unicidade do vetor nulo e do inverso aditivo, cancelamento na soma, solução da equação
e propriedades envolvendo o vetor
e a multiplicação por escalares. Para isso vamos usar somente os axiomas de espaço vetorial: existência de elemento neutro e inverso em
, associatividade, comutatividade, bem como as propriedades distributivas e de compatibilidade da multiplicação escalar.
Passo 2
Provar i) unicidade de
.
Suponha que e
sejam ambos vetores nulos, isto é, para todo
vale
Suponha que
Em particular, tomando
na segunda, temos
. Mas como
é neutro,
. Logo
. Assim o neutro é único.
Passo 3
Provar ii) unicidade do inverso aditivo.
Para cada existe por axioma algum
tal que
. Suponha que também
satisfaça
. Então
Para cada
Logo o inverso é único, e o denotamos por
.
Passo 4
Provar iii) cancelamento na soma.
Se satisfazem
, basta somar ambos os lados com o inverso de
para obter
Se
e de modo análogo o lado direito vira
. Logo
.
Passo 5
Provar iv) existência e unicidade de solução de
.
Tomando temos
Tomando
mostrando existência. Para unicidade, se
e
forem duas soluções,
, então pelo cancelamento
.
Passo 6
Provar v)
.
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre soma em temos
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre soma em
Mas
, então
Somando o inverso de
em ambos os lados, obtemos
.
Passo 7
Provar vi)
.
Agora usamos a distributividade da soma de escalares:
Agora usamos a distributividade da soma de escalares:
Como
, o lado esquerdo é
, de onde
e, concluindo como antes pelo inverso aditivo, segue
.
Passo 8
Provar vii)
.
Observe
Observe
Assim
é o inverso aditivo de
, ou seja,
.
Passo 9
Provar viii)
.
Primeiro
Primeiro
logo
é inverso aditivo de
, ou seja
.
Em segundo lugar,
Em segundo lugar,
portanto
também é inverso de
. Pela unicidade do inverso segue
.
Resposta
Concluímos que todas as propriedades i)–viii) valem em qualquer espaço vetorial
.