Considere a região plana limitada pela reta y=3 x-2, o eixo x e as retas x=1 e x=4.
Faça um esboço da regiāo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica que pede para esboçarmos uma região no plano. O enunciado fala sobre a reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $ (que é quando $ y = 0 $), e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Para resolver, vamos precisar entender de gráficos de retas, pontos de interseção e como delimitar uma região no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas que delimitam a região:
  1. Reta $ y = 3x - 2 $: Essa é uma reta com inclinação 3 e intercepto em $ y $ no ponto y = 3x - 2 .
  2. Eixo $ x $: Representa todos os pontos onde $ y = 0 $.
  3. Retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $: São linhas que passam pelos pontos onde $ x $ é sempre 1 ou 4, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas retas se cruzam, porque esses pontos vão formar os cantos da nossa região.
  1. Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com o eixo $ x $:
    • No eixo $ x $, $ y = 0 $. Então, substituímos: y = 3x - 2
    • Ponto de interseção: $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $
  2. Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com $ x = 1 $:
    • Substituímos $ x = 1 $ na equação da reta: x
    • Ponto de interseção: $ (1,, 1) $
  3. Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com $ x = 4 $:
    • Substituímos $ x = 4 $ na equação da reta: x
    • Ponto de interseção: $ (4,, 10) $
  4. Interseção das retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $ com o eixo $ x $:
    • Para $ x = 1 $: $ y = 0 $ → $ (1,, 0) $
    • Para $ x = 4 $: $ y = 0 $ → $ (4,, 0) $

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, vamos listar os vértices da região:
  • $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $
  • $ (1,, 1) $
  • $ (4,, 10) $
  • $ (4,, 0) $
  • $ (1,, 0) $

Passo 5

Hora de esboçar! Mesmo sem desenhar aqui, vou te orientar:
  1. Desenhe o eixo $ x $ e $ y $ para ter o plano cartesiano.
  2. Trace a reta $ y = 3x - 2 $, passando por $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ e subindo com inclinação 3.
  3. Desenhe as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $, linhas paralelas ao eixo $ y $.
  4. Marque os pontos de interseção que encontramos.
  5. Delimite a região conectando os pontos:
    • Vai de $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ até $ (1,, 1) $ na reta $ y = 3x - 2 $.
    • De $ (1,, 1) $ até $ (4,, 10) $ também na reta $ y = 3x - 2 $.
    • De $ (4,, 10) $ até $ (4,, 0) $ na reta vertical $ x = 4 $.
    • E de $ (4,, 0) $ até $ (1,, 0) $ no eixo $ x $.
    • Finalmente, de $ (1,, 0) $ de volta a $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ na reta vertical $ x = 1 $.

Resposta

Pronto! Você agora tem um esboço da região limitada pela reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $, e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $. A área formada é uma espécie de trapézio inclinado, delimitado pelos pontos de interseção que calculamos.

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