Considere a região plana limitada pela reta
, o eixo
e as retas
e
.
Faça um esboço da regiāo.
Faça um esboço da regiāo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica que pede para esboçarmos uma região no plano. O enunciado fala sobre a reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $ (que é quando $ y = 0 $), e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Para resolver, vamos precisar entender de gráficos de retas, pontos de interseção e como delimitar uma região no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas que delimitam a região:
- Reta $ y = 3x - 2 $: Essa é uma reta com inclinação 3 e intercepto em $ y $ no ponto
. - Eixo $ x $: Representa todos os pontos onde $ y = 0 $.
- Retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $: São linhas que passam pelos pontos onde $ x $ é sempre 1 ou 4, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas retas se cruzam, porque esses pontos vão formar os cantos da nossa região.
-
Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com o eixo $ x $:
- No eixo $ x $, $ y = 0 $. Então, substituímos:
- Ponto de interseção: $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $
- No eixo $ x $, $ y = 0 $. Então, substituímos:
-
Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com $ x = 1 $:
- Substituímos $ x = 1 $ na equação da reta:
- Ponto de interseção: $ (1,, 1) $
- Substituímos $ x = 1 $ na equação da reta:
-
Interseção da reta $ y = 3x - 2 $ com $ x = 4 $:
- Substituímos $ x = 4 $ na equação da reta:
- Ponto de interseção: $ (4,, 10) $
- Substituímos $ x = 4 $ na equação da reta:
-
Interseção das retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $ com o eixo $ x $:
- Para $ x = 1 $: $ y = 0 $ → $ (1,, 0) $
- Para $ x = 4 $: $ y = 0 $ → $ (4,, 0) $
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, vamos listar os vértices da região:
- $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $
- $ (1,, 1) $
- $ (4,, 10) $
- $ (4,, 0) $
- $ (1,, 0) $
Passo 5
Hora de esboçar! Mesmo sem desenhar aqui, vou te orientar:
-
Desenhe o eixo $ x $ e $ y $ para ter o plano cartesiano.
-
Trace a reta $ y = 3x - 2 $, passando por $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ e subindo com inclinação 3.
-
Desenhe as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $, linhas paralelas ao eixo $ y $.
-
Marque os pontos de interseção que encontramos.
-
Delimite a região conectando os pontos:
- Vai de $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ até $ (1,, 1) $ na reta $ y = 3x - 2 $.
- De $ (1,, 1) $ até $ (4,, 10) $ também na reta $ y = 3x - 2 $.
- De $ (4,, 10) $ até $ (4,, 0) $ na reta vertical $ x = 4 $.
- E de $ (4,, 0) $ até $ (1,, 0) $ no eixo $ x $.
- Finalmente, de $ (1,, 0) $ de volta a $ \left( \frac{2}{3},, 0 \right) $ na reta vertical $ x = 1 $.
Resposta
Pronto! Você agora tem um esboço da região limitada pela reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $, e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $. A área formada é uma espécie de trapézio inclinado, delimitado pelos pontos de interseção que calculamos.