Determine os vértices das seguintes parábolas:
(a) Com diretriz y=0 e foco (-1,4).
(b) Com diretriz y=-x e foco (-2,-2).

Passo 1

O enunciado pede o vértice de duas parábolas conhecendo-se a diretriz e o foco de cada uma. O conteúdo aqui é geometria analítica de parábolas: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam do foco e da diretriz. A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é o eixo da parábola, e o vértice é o ponto médio entre o foco e o pé da perpendicular do foco sobre a diretriz.

Passo 2

Para a parábola com diretriz y=0 e foco (-1,4), a diretriz é horizontal, então o pé da perpendicular do foco sobre a diretriz é obtido apenas projetando verticalmente o foco em y=0. Logo o pé é
P1 = (-1,0)
O vértice é o ponto médio entre (-1,4) e P1:
vértice1 = l(tfrac-1 + (-1)2,,tfrac4+02r) = (-1,2) é

Passo 3

Para a parábola com diretriz y=-x e foco (-2,-2), primeiro achamos o pé da perpendicular do foco sobre a reta y=-x. A reta perpendicular a y=-x tem coeficiente angular 1, e passando por (-2,-2) sua equação é
y + 2 = 1,(x+2)Longrightarrow y = x
O ponto de interseção de y=x com y=-x satisfaz
x = -xLongrightarrow x=0, y=0,
logo
P2 = (0,0)
O vértice é o ponto médio entre (-2,-2) e (0,0):
vértice2 = l(tfrac-2+02,,tfrac-2+02r) = (-1,-1) é

Resposta

(a) (-1,2)
(b) (-1,-1)

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