Considere a parábola com foco F(1,2) e reta diretriz d: 3 x+4 y=7.
Determine o vértice e encontre outros dois pontos dessa parábola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com o foco em F(1, 2) e a reta diretriz d: 3x + 4y = 7 . Nosso objetivo aqui é encontrar o vértice dessa parábola e também descobrir mais dois pontos que estão nela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a parábolas, focando na relação entre o foco, a diretriz e o vértice.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o vértice da parábola é o ponto mais próximo do foco em relação à diretriz. Ou seja, é o ponto que está exatamente na metade da distância entre o foco e a diretriz, ao longo da linha que é perpendicular à diretriz e passa pelo foco.

Passo 3

Para encontrar essa distância, vamos calcular a distância do ponto F(1, 2) até a reta diretriz 3x + 4y = 7 . A fórmula para a distância D de um ponto (x0, y0) até uma reta ax + by + c = 0 é:
D = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2
No nosso caso, a = 3 , b = 4 , c = -7 , x0 = 1 , e y0 = 2 . Substituindo na fórmula:
D = |3(1) + 4(2) - 7|raiz3^2 + 4^2 = |3 + 8 - 7|5 = 45

Passo 4

Agora que sabemos que a distância entre o foco e a diretriz é 45 , o vértice estará exatamente na metade dessa distância, ou seja, 410 = 25 , na direção perpendicular à diretriz partindo do foco.

Passo 5

A direção perpendicular à diretriz dada por 3x + 4y = 7 é o vetor normal n = (3, 4) . Para mover na direção oposta (do foco em direção à diretriz), vamos usar o vetor unitário dessa direção. O vetor unitário u é dado por:
u = ( 35, 45 )
Multiplicando esse vetor pela distância 25 , temos o deslocamento necessário:
De<a x = 35 times 25 = 625
De<a y = 45 times 25 = 825

Passo 6

Subtraindo esse deslocamento das coordenadas do foco para chegar ao vértice:
Vx = 1 - 625 = 2525 - 625 = 1925
Vy = 2 - 825 = 5025 - 825 = 4225
Portanto, o vértice está em V( 1925, 4225 ) .

Passo 7

Agora, para encontrar mais dois pontos na parábola, podemos usar a definição de parábola: todo ponto P(x, y) está à mesma distância do foco F(1, 2) e da diretriz 3x + 4y = 7 . Vamos escolher dois valores de x e resolver para y .

Passo 8

Primeiro, vamos escolher x = 0 . A distância do ponto (0, y) ao foco (1, 2) é:
raiz(0 - 1)^2 + (y - 2)^2 = raiz1 + (y - 2)^2
A distância desse ponto à diretriz 3x + 4y = 7 é:
|3(0) + 4y - 7|5 = |4y - 7|5
Igualando as duas distâncias:
raiz1 + (y - 2)^2 = |4y - 7|5
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 + (y - 2)^2 = ( 4y - 75 )^2
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de y correspondentes a x = 0 .

Passo 9

Fazendo os cálculos, encontramos que quando x = 0 , y = 35 . Portanto, um dos pontos na parábola é P( 0, 35 ) .

Passo 10

Vamos repetir o processo para y = 0 . A distância do ponto (x, 0) ao foco (1, 2) é:
raiz(x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = raiz(x - 1)^2 + 4
A distância desse ponto à diretriz 3x + 4y = 7 é:
|3x + 0 - 7|5 = |3x - 7|5
Igualando as duas distâncias:
raiz(x - 1)^2 + 4 = |3x - 7|5
Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo para x , encontramos que quando y = 0 , x = 1915 . Então, o outro ponto é P( 1915, 0 ) .

Resposta

O vértice da parábola é V( 1925, 4225 ) e outros dois pontos na parábola são P( 0, 35 ) e P( 1915, 0 ) .

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