Considere a parábola com foco
e reta diretriz
.
Determine o vértice e encontre outros dois pontos dessa parábola.
Determine o vértice e encontre outros dois pontos dessa parábola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com o foco em
e a reta diretriz
. Nosso objetivo aqui é encontrar o vértice dessa parábola e também descobrir mais dois pontos que estão nela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a parábolas, focando na relação entre o foco, a diretriz e o vértice.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o vértice da parábola é o ponto mais próximo do foco em relação à diretriz. Ou seja, é o ponto que está exatamente na metade da distância entre o foco e a diretriz, ao longo da linha que é perpendicular à diretriz e passa pelo foco.
Passo 3
Para encontrar essa distância, vamos calcular a distância do ponto
até a reta diretriz
. A fórmula para a distância
de um ponto
até uma reta
é:
No nosso caso,
,
,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora que sabemos que a distância entre o foco e a diretriz é
, o vértice estará exatamente na metade dessa distância, ou seja,
, na direção perpendicular à diretriz partindo do foco.
Passo 5
A direção perpendicular à diretriz dada por
é o vetor normal
. Para mover na direção oposta (do foco em direção à diretriz), vamos usar o vetor unitário dessa direção. O vetor unitário
é dado por:
Multiplicando esse vetor pela distância
, temos o deslocamento necessário:
Passo 6
Subtraindo esse deslocamento das coordenadas do foco para chegar ao vértice:
Portanto, o vértice está em
.
Passo 7
Agora, para encontrar mais dois pontos na parábola, podemos usar a definição de parábola: todo ponto
está à mesma distância do foco
e da diretriz
. Vamos escolher dois valores de
e resolver para
.
Passo 8
Primeiro, vamos escolher
. A distância do ponto
ao foco
é:
A distância desse ponto à diretriz
é:
Igualando as duas distâncias:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de
correspondentes a
.
Passo 9
Fazendo os cálculos, encontramos que quando
,
. Portanto, um dos pontos na parábola é
.
Passo 10
Vamos repetir o processo para
. A distância do ponto
ao foco
é:
A distância desse ponto à diretriz
é:
Igualando as duas distâncias:
Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo para
, encontramos que quando
,
. Então, o outro ponto é
.
Resposta
O vértice da parábola é
e outros dois pontos na parábola são
e
.