Dadas as retas e s:lly= & -3 x+7 z & =x+1.
Se forem coplanares, são Coincidentes ou Paralelas ou Concorrentes? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço, chamadas r e s, definidas pelas equações que você passou. O conteúdo aqui envolve geometria espacial, especificamente o estudo de retas no espaço. Vamos precisar entender como identificar se essas retas são coincidentes, paralelas ou concorrentes (isto é, se elas se cruzam), assumindo que elas são coplanares (ou seja, estão no mesmo plano).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais clara. A reta [r) é dada por:
E a reta (s] é:
Para facilitar, podemos expressar cada reta em forma paramétrica. Vamos escolher [x) como parâmetro para a reta e como parâmetro para a reta .
Para a reta :
E para a reta (s]:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta, que nos dizem a direção em que cada reta aponta. Para a reta r, o vetor diretor é (1, 2, -1), e para a reta s, é (1, -3, 1).
Para verificar se as retas são paralelas, comparamos os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas. Porém:
(1, 2, -1) neq k(1, -3, 1)
Não existe um número k que satisfaça todas as componentes, então as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são coincidentes ou se se cruzam (concorrentes). Para isso, precisamos saber se existe um ponto que pertence às duas retas ao mesmo tempo.
Igualando as equações de [r) e :
Resolvendo a segunda equação para (s]:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Portanto, quando e , as coordenadas das retas são:
Os pontos coincidem!
Resposta
As retas r e s são concorrentes, pois elas se intersectam no ponto (2,,1,,3).