As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas por:
A partir dessas definições, mostre que as seguintes equações paramétricas descrevem um ramo de uma hipérbole:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que certas equações paramétricas descrevem um ramo de uma hipérbole. Pra resolver isso, vamos precisar entender funções hiperbólicas como seno hiperbólico (
) e cosseno hiperbólico (
), além de conhecer um pouquinho sobre hipérboles e equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções hiperbólicas. As definições dadas são:
Elas são semelhantes às funções seno e cosseno trigonométricas, mas relacionadas com a hipérbola ao invés do círculo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as equações paramétricas que queremos analisar:
Aqui,
e
são constantes, e
é o parâmetro que varia de menos infinito a infinito.
Passo 4
Para mostrar que essas equações descrevem uma hipérbole, vamos eliminar o parâmetro
. Para isso, usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
Passo 5
Substituímos
e
nas equações com as expressões em termos de
e
:
Passo 6
Simplificando a equação, chegamos em:
Resposta
As equações paramétricas fornecidas descrevem um ramo da hipérbole dada por