As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas por:
senh t=e^x+e^-x2 e cosh t=e^x-e^-x2
A partir dessas definições, mostre que as seguintes equações paramétricas descrevem um ramo de uma hipérbole:
l x=a cosh t y=b senh t , -infty<t<infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que certas equações paramétricas descrevem um ramo de uma hipérbole. Pra resolver isso, vamos precisar entender funções hiperbólicas como seno hiperbólico ( senh) e cosseno hiperbólico ( cosh), além de conhecer um pouquinho sobre hipérboles e equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções hiperbólicas. As definições dadas são:
senh t = e^t - e^-t2 e cosh t = e^t + e^-t2
Elas são semelhantes às funções seno e cosseno trigonométricas, mas relacionadas com a hipérbola ao invés do círculo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as equações paramétricas que queremos analisar:
l x = a cosh t y = b senh t , -infty < t < infty
Aqui, a e b são constantes, e t é o parâmetro que varia de menos infinito a infinito.

Passo 4

Para mostrar que essas equações descrevem uma hipérbole, vamos eliminar o parâmetro t. Para isso, usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
cosh^2 t - senh^2 t = 1

Passo 5

Substituímos x e y nas equações com as expressões em termos de cosh t e senh t:
(xa)^2 - (yb)^2 = cosh^2 t - senh^2 t = 1

Passo 6

Simplificando a equação, chegamos em:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Resposta

As equações paramétricas fornecidas descrevem um ramo da hipérbole dada por
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

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