Dadas as retas r:lly= & 2 x-3 z & =-x+5 e s:lly= & -3 x+7 z & =x+1.
Verifique se s e r são coplanares ou reversas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas retas no espaço, chamadas r e s, dadas pelas seguintes equações:
r: l y = 2x - 3 z = -x + 5 e s: l y = -3x + 7 z = x + 1
Nosso objetivo aqui é verificar se essas retas são coplanares (isto é, se elas estão no mesmo plano) ou skew (retas que não são coplanares e não se encontram). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores, pontos nas retas e o conceito de produto misto. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Vamos considerar [x) como parâmetro para ambas as retas. Assim, podemos escrever as retas e de forma paramétrica:
Para a reta :
Para a reta (s]:
Aqui, é um número real que varia, posicionando diferentes pontos ao longo de cada reta.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta aponta e pode ser encontrado olhando os coeficientes de t nas equações paramétricas.
Para a reta r, o vetor diretor vr é:
vr = 1 2 -1
Para a reta s, o vetor diretor vs é:
vs = 1 -3 1
Esses vetores são fundamentais para entender como as retas estão posicionadas no espaço.

Passo 4

Vamos escolher pontos específicos em cada reta para facilitar nossos cálculos. Vamos considerar t=0 para ambas as retas.
Para a reta r, quando t=0:
Pr = (0, -3, 5)
Para a reta s, quando t=0:
Ps = (0, 7, 1)
Agora, vamos encontrar o vetor que liga esses dois pontos, que é simplesmente a diferença entre as coordenadas de Ps e Pr:
PrPs = Ps - Pr = 0 - 0 7 - (-3) 1 - 5 = 0 10 -4

Passo 5

Para verificar se as retas são coplanares ou skew, vamos usar o conceito de produto misto. Se o produto misto entre os vetores diretores das retas e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta for zero, então as retas são coplanares. Caso contrário, elas são skew.
O produto misto é calculado da seguinte forma:
vr cdot (vs times PrPs)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial vs times PrPs:
vs times PrPs = i & j & k 1 & -3 & 1 0 & 10 & -4 = i((-3)(-4) - (1)(10)) - j((1)(-4) - (1)(0)) + k((1)(10) - (-3)(0))
Calculando cada componente:
vs times PrPs = i(12 - 10) - j(-4 - 0) + k(10 - 0) = i(2) + j(4) + k(10) = 2 4 10
Agora, vamos calcular o produto escalar entre vr e o resultado acima:
vr cdot (vs times PrPs) = 1 2 -1 cdot 2 4 10 = (1)(2) + (2)(4) + (-1)(10) = 2 + 8 - 10 = 0

Resposta

Como o produto misto resultou em zero, as retas r e s são coplanares, ou seja, elas estão no mesmo plano.

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